BZOJ 2159 「国家集训队」Crash 的文明世界（第二类斯特林数，换根DP）【BZOJ计划】

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2159

是 hydro 的 BZOJ 修复工程！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

Problem

Crash 小朋友最近迷上了一款游戏——文明5 (Civilization V)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。

现在 Crash 已经拥有了一个 nnn 个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此 Crash 只修建了 n−1n-1n−1 条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。

在游戏中，Crash 需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：

S(i)=∑j=1ndist(i,j)kS(i) = \sum_{j = 1}^{n}{\rm dist}(i, j) ^ k S(i)=j=1∑ndist(i,j)k

其中 S(i)S(i)S(i) 表示第 iii 个城市的指标值，dist(i,j){\rm dist}(i, j)dist(i,j) 表示第 iii 个城市到第 jjj 个城市需要经过的道路条数的最小值，kkk 为一个常数且为正整数。

因此 Crash 交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数mod10007\bmod\ 10007mod 10007 的值。

1≤n≤5×1041\le n\le 5\times 10^41≤n≤5×104 ，1≤k≤1501\le k\le 1501≤k≤150。

Solution

没有边权的无根树^q^

当 k=1k=1k=1 时显然是经典的换根DP。

考虑如何处理 distk\mathrm{dist}^kdistk。

我们知道第二类斯特林数 S(n,m)={nm}S(n,m)= \left \{ {\begin{matrix} n\\ m \end{matrix}} \right \}S(n,m)={nm} 满足

mn=∑i=0n{in}i!(mi)m^{n}=\sum_{i=0}^{n} \left \{ {\begin{matrix} i\\ n \end{matrix}} \right \} i ! {m\choose i} mn=i=0∑n{in}i!(im)

则有：

Sx=∑i=1ndis(i,x)k=∑i=1n∑j=0k{kj}(dis(i,x)j)j!=∑j=0k{kj}j!∑i=1n(dis(i,x)j)=∑j=0k{kj}j!∑i=1n((dis(i,x)−1j)+(dis(i,x−1)j−1))\begin{aligned}S_{x} &=\sum_{i=1}^{n} \mathrm{d i s}(i, x)^{k} \\&=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^{k} \left \{ {\begin{matrix} k\\ j \end{matrix}} \right \} {\mathrm{d i s}(i, x)\choose j}j ! \\&=\sum_{j=0}^{k}\left\{\begin{array}{c}k \\j\end{array}\right\} j ! \sum_{i=1}^{n} {\mathrm{d i s}(i, x)\choose j} \\&=\sum_{j=0}^{k}\left\{\begin{array}{c}k \\j\end{array}\right\} j ! \sum_{i=1}^{n}\left({\mathrm{d i s}(i, x)-1\choose j}+{\mathrm{d i s}(i, x-1)\choose j-1}\right)\end{aligned} Sx=i=1∑ndis(i,x)k=i=1∑nj=0∑k{kj}(jdis(i,x))j!=j=0∑k{kj}j!i=1∑n(jdis(i,x))=j=0∑k{kj}j!i=1∑n((jdis(i,x)−1)+(j−1dis(i,x−1)))

考虑继续做换根DP。

设 f[x,j]f[x,j]f[x,j] 表示以 xxx 为根的子树中，上述表达式的后半部分的答案。

显然有转移方程：

f[x,j]=∑son∈x_sonf[son,j]+f[son,j−1]f[x,j]=\sum\limits_{\mathrm{son}\in \mathrm{x\_{son}}}f[\mathrm{son}, j]+f[\mathrm{son}, j-1] f[x,j]=son∈x_son∑f[son,j]+f[son,j−1]

预处理之后直接进行换根DP即可。

时间复杂度 O(nk)O(nk)O(nk)

Code

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