一、理论基础

1、基本鲸鱼优化算法

请参考这里。

2、基于分段式随机惯性权重和最优反馈机制的鲸鱼优化算法(FWOA)

（1）基于最优解反馈机制的随机游走觅食

在随机游走觅食过程中，可以通过反馈机制，使得鲸鱼并不仅进行无目的游走，还与当前最优位置的鲸鱼进行信息交流，这种方式不仅可以保持种群的多样性，还可避免随机选择个体的盲目性，本文引入的反馈数学模型如下： X n e w _ r a n d = X r a n d + r a n d × ( X r a n d − X b e s t ) (1) \boldsymbol X_{new\_rand}=\boldsymbol X_{rand}+rand\times(\boldsymbol X_{rand}-\boldsymbol X_{best})\tag{1} Xnew_rand=Xrand+rand×(Xrand−Xbest)(1)其中， X r a n d \boldsymbol X_{rand} Xrand为随机选择的个体； X b e s t \boldsymbol X_{best} Xbest为最优鲸鱼位置。
由式(1)可以看出，新鲸鱼的位置是由随机鲸鱼位置和最优鲸鱼位置共同决定的，在保证种群活跃性的同时加快了收敛速度。引入反馈机制后的鲸鱼随机游走公式为： X t + 1 = X n e w _ r a n d − A × D (2) \boldsymbol X_{t+1}=\boldsymbol X_{new\_rand}-\boldsymbol A\times\boldsymbol D\tag{2} Xt+1=Xnew_rand−A×D(2)

（2）分段式非线性递减惯性权重

本文将鲸鱼优化算法的收缩包围策略和螺旋捕食策略都分为前期、中期、后期3个进化阶段。在进化前期算法的惯性权重不变，即仍采用较大固定值，使算法在全局空间中进行充分搜索；而在中后期则引入非线性递减的动态惯性权重，使得鲸鱼向全局最优解附近靠近，加快算法收敛速度，引入的权重公式为： ω = { 1 t < 1 3 M a x _ i t e r 1 − e r a n d × ( t M a x _ i t e r − 1 ) o t h e r w i s e (3) \omega=\begin{dcases}1\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,\, t<\frac13Max\_iter\\1-e^{rand\times\left(\frac{t}{Max\_iter}-1\right)}\quad otherwise\end{dcases}\tag{3} ω=⎩ ⎨ ⎧1t<31Max_iter1−erand×(Max_itert−1)otherwise(3)式(3)中，惯性权重 ω \omega ω保持从1到0整体递减趋势的同时，也呈现出一定的随机性，这种随机性降低了算法如在中前期未能搜索到理论最优值附近，而在后期因惯性权重的单调递减直接陷入局部极值无法跳出的风险，有利于算法摆脱局部最优。加入惯性权重后，收缩包围策略与螺旋捕食策略的公式如下： X ( t + 1 ) = ω × X b e s t − A × D (4) \boldsymbol X(t+1)=\omega\times\boldsymbol X_{best}-\boldsymbol A\times\boldsymbol D\tag{4} X(t+1)=ω×Xbest−A×D(4) X ( t + 1 ) = ω × X b e s t + D × e b l × cos ⁡ ( 2 × π × l ) (5) \boldsymbol X(t+1)=\omega×\boldsymbol X_{best}+\boldsymbol D\times e^{bl}\times\cos(2\times\pi\times l)\tag{5} X(t+1)=ω×Xbest+D×ebl×cos(2×π×l)(5)

（3）修正且改进的边界处理

本文算法在进行边界条件处理时，会选择在靠近相应边界的区域内随机产生一个数值代替越界值，如果在某个维度上低于该维度的边界下限，就产生一个靠近此下限的值代替其值，如果在某维度上大于此维度的边界上限，则产生一个接近该上限的值代替其值，代码如下：

for i=1:Nfor j=1:dimif (u(i,j)<Xmin)u(i,j)=unifrnd(0,0.05)*(Xmax-Xmin)+Xmin;end ifif (u(i,j)>Xmax)u(i,j)=unifrnd(0.95,1)*(Xmax-Xmin)+Xmin;end ifend
end

由上述代码可以看出，改进公式不仅能增强种群的活跃性，还能提高算法的稳定性，符合改进规律，使边界处理更加合理和有效。

（4）FWOA算法流程

FWOA算法描述如下：

初始化鲸鱼种群Xi(i=1,2,...,N)
设置最优鲸鱼位置与适应度的初值
while (t<=Max_iter)由式(3)计算非线性惯性权重wfor i=1:N由相应公式更新系数向量A和C的值if p<0.5if |A|>=1由反馈公式(1)更新随机鲸鱼位置以随机鲸鱼位置为基础解，依据式(2)进行随机游走觅食else由式(4)以当前最优解为基础进行收缩包围猎物end ifelse由式(5)以当前最优解为基础进行螺旋捕食end if进行边界条件处理计算新的适应度值，确定当前最优值和最优值位置end for
end while

二、仿真实验与分析

1、函数测试与数值分析

为了验证本文算法FWOA的整体性能，将其与WOA、AWOA[2]、A-CWOA[3]进行对比，以文献[1]中表1的30维的12个测试函数为例。仿真实验中，4种算法的运行次数、种群规模、空间维度和最大迭代次数都保持一致，即 N = 30 , d i m = 30 , M a x _ i t e r = 1000 N=30,dim=30,Max\_iter=1000 N=30,dim=30,Max_iter=1000，每种算法分别独立运行30次。结果显示如下：

函数：F1
WOA：最差值: 9.6985e-149,最优值:1.2624e-165,平均值:3.2329e-150,标准差:1.7707e-149
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 8.579e-246,最优值:2.5388e-293,平均值:2.8597e-247,标准差:0
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F2
WOA：最差值: 1.3519e-101,最优值:2.2422e-112,平均值:5.2171e-103,标准差:2.4777e-102
AWOA：最差值: 3.1987e-290,最优值:3.0137e-305,平均值:1.067e-291,标准差:0
A-CWOA：最差值: 2.2545e-132,最优值:5.6579e-149,平均值:1.1924e-133,标准差:4.533e-133
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F3
WOA：最差值: 1.2785e-59,最优值:1.4112e-65,平均值:1.5641e-60,标准差:3.7632e-60
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 2.7585e-67,最优值:1.1206e-74,平均值:1.5297e-68,标准差:5.1674e-68
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F4
WOA：最差值: 3.1363e-52,最优值:2.0994e-74,平均值:1.1086e-53,标准差:5.7209e-53
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 8.5782e-219,最优值:1.6496e-239,平均值:5.4326e-220,标准差:0
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F5
WOA：最差值: 0.2678,最优值:1.6653e-16,平均值:0.15498,标准差:0.080057
AWOA：最差值: 1.6653e-16,最优值:1.6653e-16,平均值:1.6653e-16,标准差:0
A-CWOA：最差值: 0.20439,最优值:1.6653e-16,平均值:0.025956,标准差:0.060734
FWOA：最差值: 1.6653e-16,最优值:1.6653e-16,平均值:1.6653e-16,标准差:0
函数：F6
WOA：最差值: 86.1946,最优值:0.040401,平均值:36.4322,标准差:28.5546
AWOA：最差值: 1.7489e-273,最优值:3.7118e-289,平均值:7.4498e-275,标准差:0
A-CWOA：最差值: 2.6827e-113,最优值:1.8751e-127,平均值:9.7135e-115,标准差:4.8939e-114
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F7
WOA：最差值: 4.8426e-149,最优值:3.3567e-168,平均值:2.2224e-150,标准差:9.3325e-150
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 1.2378e-247,最优值:3.9085e-284,平均值:7.1833e-249,标准差:0
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F8
WOA：最差值: 1.2934e-05,最优值:1.0599e-36,平均值:1.3451e-06,标准差:3.1128e-06
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 1.069e-96,最优值:1.3506e-272,平均值:3.5635e-98,标准差:1.9518e-97
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F9
WOA：最差值: 0.0071748,最优值:1.161e-06,平均值:0.0020759,标准差:0.0019943
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 3.8063e-212,最优值:2.302e-252,平均值:1.2688e-213,标准差:0
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F10
WOA：最差值: 9.5848e-61,最优值:1.642e-67,平均值:4.4349e-62,标准差:1.7475e-61
AWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
A-CWOA：最差值: 1.1528e-63,最优值:1.3692e-77,平均值:4.2397e-65,标准差:2.1084e-64
FWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F11
WOA：最差值: 0.75845,最优值:0.0089816,平均值:0.11116,标准差:0.14342
AWOA：最差值: 0.11417,最优值:0.00049178,平均值:0.034273,标准差:0.031793
A-CWOA：最差值: 0.09673,最优值:0.00023318,平均值:0.012868,标准差:0.028159
FWOA：最差值: 0.23175,最优值:0.0047657,平均值:0.054654,标准差:0.058854
函数：F12
WOA：最差值: 7.9936e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:4.6777e-15,标准差:2.6279e-15
AWOA：最差值: 8.8818e-16,最优值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
A-CWOA：最差值: 4.4409e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:1.125e-15,标准差:9.0135e-16
FWOA：最差值: 8.8818e-16,最优值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0

实验充分说明FWOA具有出色的寻优性能，其寻优精度、收敛速度、跳出局部极值的能力和求解稳定性均优于AWOA、W-CWOA和WOA三种对比算法。

2、求解压力容器优化设计问题

压力容器设计问题具体请参考这里。仿真实验中，4种算法的运行次数、种群规模、空间维度和最大迭代次数都保持一致，即 N = 30 , M a x _ i t e r = 1000 N=30,Max\_iter=1000 N=30,Max_iter=1000，每种算法分别独立运行30次。结果显示如下：

WOA：最差值: 7581.6434,最优值:4631.6055,平均值:6354.6713,标准差:996.2371
AWOA：最差值: 7584.8163,最优值:4587.8158,平均值:6430.7318,标准差:1134.4121
ACWOA：最差值: 7540.2554,最优值:4890.3955,平均值:6527.8395,标准差:1049.8239
FWOA：最差值: 5683.8182,最优值:4620.93,平均值:5384.711,标准差:328.3436

实验充分说明FWOA在求解此类工程设计约束优化问题时具有优越的性能。

三、参考文献

[1] 刘景森, 马义想, 李煜. 改进鲸鱼算法求解工程设计优化问题[J]. 计算机集成制造系统, 2021, 27(7): 1884-1897.
[2] Wei Sun, Chongchong Zhang. Analysis and forecasting of the carbon price using multi—resolution singular value decomposition and extreme learning machine optimized by adaptive whale optimization algorithm[J]. Applied Energy, 2018, 231: 1354-1371.
[3] Mostafa A. Elhosseini, Amira Y. Haikal, Mahmoud Badawy, et al. Biped robot stability based on an A–C parametric Whale Optimization Algorithm[J]. Journal of Computational Science, 2019, 31: 17-32.

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