一、理论基础

1、鲸鱼优化算法

请参考这里。

2、鲸鱼优化算法的改进

为了改进鲸鱼算法容易陷入局部最优和收敛精度低的问题，本文从两个方面对鲸鱼算法进行改进。一方面通过柯西分布积累函数的方法对全局搜索的鲸鱼位置信息变异，提高鲸鱼的全搜索探能力；另一方面通过引入自适应权重方法，从而来提高鲸鱼的局部寻优能力。

（1）柯西分布的逆累积分布函数

当鲸群在进行全局搜索时，需要随机选取一头鲸鱼作为参考鲸鱼，然后其它鲸鱼向参考鲸鱼随机选取靠近。参考鲸鱼的选择影响鲸鱼算法的全局搜索，原算法中参考鲸鱼是随机选择的，因此不容易找到全局最优解，针对这个问题，本文选取了柯西逆累积分布函数对鲸鱼进行变异，通过柯西分布有很长的尾巴的特点，让鲸鱼个体朝更广的范围变异。同时，当鲸鱼进行柯西逆累积分布函数变异时，鲸鱼会采用螺旋行走进行局部寻优，从而避免了鲸鱼盲目变异的特点。柯西逆累积分布函数如式(1)所示，鲸群全局搜索的数学模型如式(2)所示。 F − 1 ( p ; x 0 ; γ ) = x 0 + γ ⋅ tan ⁡ ( π ⋅ ( p − 1 2 ) ) (1) F^{-1}(p;x_0;\gamma)=x_0+\gamma\cdot\tan\left(\pi\cdot\left(p-\frac12\right)\right)\tag{1} F−1(p;x0;γ)=x0+γ⋅tan(π⋅(p−21))(1) X → ( t + 1 ) = x i j + A → ⋅ tan ⁡ ( π ⋅ ( r − 1 2 ) ) (2) \overrightarrow X(t+1)=x_{ij}+\overrightarrow A\cdot\tan\left(\pi\cdot\left(r-\frac12\right)\right)\tag{2} X (t+1)=xij+A ⋅tan(π⋅(r−21))(2)其中， F − 1 F^{-1} F−1是柯西分布的逆累积分布函数， x i j x_{ij} xij是变异前的第 i i i头鲸鱼的 j j j个位置点， γ = A → \gamma=\overrightarrow A γ=A ， r ∈ [ 0 , 1 ] r\in[0,1] r∈[0,1]的均匀分布。

（2）自适应权重

惯性权重是粒子群中很重要的一个参数，当惯性权重较大时，算法搜索能力较强，可以搜索较大的区域，当惯性权重较小时，算法后期搜索能力较强，可以在最优解周围精细搜索。
本文提出了新的自适应权重方法，鲸鱼接近食物的时候，采用较小的自适应权重改变此时最优的鲸鱼的位置，使得鲸鱼局部寻优能力得到提高。自适应权值公式如式(3)所示，鲸群局部寻优的数学模型如式(4)所示。 w = sin ⁡ ( π ⋅ t 2 ⋅ i t max ⁡ ) + 1 (3) w=\sin\left(\frac{\pi\cdot t}{2\cdot it_{\max}}\right)+1\tag{3} w=sin(2⋅itmaxπ⋅t)+1(3) X → ( t + 1 ) = w ⋅ X → ∗ ( t ) − A → ⋅ D → (4) \overrightarrow X(t+1)=w\cdot\overrightarrow X^*(t)-\overrightarrow A\cdot\overrightarrow D\tag{4} X (t+1)=w⋅X ∗(t)−A ⋅D (4)其中， t t t为当前迭代次数， i t max ⁡ it_{\max} itmax是最大迭代次数。

（3）算法流程图

改进的鲸鱼算法从两个方面优化了鲸鱼捕食行为，一方面是通过柯西变异使鲸鱼获得更好的全局勘探能力，使得鲸鱼获得更好的全局最优解，另一方面通过自适应权重，使鲸鱼有更好的局部寻优能力，通过两方面的改进，改进后的鲸鱼算法流程图如图1所示。

图1 改进的鲸鱼算法流程图

二、函数测试与结果分析

将本文所提出的基于自适应权重和柯西变异的鲸鱼算法(WOAWC)与引力搜索算法(GSA)、粒子群算法(PSO)、鲸鱼算法(WOA)进行对比实验，其中迭代次数为500次，每个算法独立进行50次实验。以文献[1]中30维的F1、F2、F7、F9、F10、F13为例。结果显示如下：

函数：F1
WOA：最差值: 1.9956e-68, 最优值: 4.0286e-86, 平均值: 3.9914e-70, 标准差: 2.8222e-69, 秩和检验: 3.3111e-20
PSO：最差值: 1730.3885, 最优值: 219.752, 平均值: 991.4171, 标准差: 388.4419, 秩和检验: 3.3111e-20
GSA：最差值: 1.5337, 最优值: 5.9234e-17, 平均值: 0.037986, 标准差: 0.22183, 秩和检验: 3.3111e-20
WOAWC：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F2
WOA：最差值: 5.0403e-49, 最优值: 6.6396e-58, 平均值: 1.7766e-50, 标准差: 7.4841e-50, 秩和检验: 7.0661e-18
PSO：最差值: 31.3715, 最优值: 10.1303, 平均值: 23.2728, 标准差: 4.6303, 秩和检验: 7.0661e-18
GSA：最差值: 15.2539, 最优值: 3.482e-08, 平均值: 0.65832, 标准差: 2.2659, 秩和检验: 7.0661e-18
WOAWC：最差值: 7.8754e-182, 最优值: 1.657e-208, 平均值: 1.6325e-183, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F7
WOA：最差值: 0.020596, 最优值: 7.0149e-06, 平均值: 0.0045717, 标准差: 0.0043059, 秩和检验: 9.0385e-15
PSO：最差值: 6.708, 最优值: 0.45214, 平均值: 1.8912, 标准差: 1.1208, 秩和检验: 7.0661e-18
GSA：最差值: 9.2347, 最优值: 0.047118, 平均值: 0.67628, 标准差: 1.3915, 秩和检验: 7.0661e-18
WOAWC：最差值: 0.00062569, 最优值: 8.4707e-06, 平均值: 0.00015627, 标准差: 0.00013746, 秩和检验: 1
函数：F9
WOA：最差值: 5.6843e-14, 最优值: 0, 平均值: 2.2737e-15, 标准差: 1.1252e-14, 秩和检验: 0.15937
PSO：最差值: 204.2245, 最优值: 99.5442, 平均值: 148.6731, 标准差: 21.1879, 秩和检验: 3.3111e-20
GSA：最差值: 82.5813, 最优值: 19.8992, 平均值: 37.5099, 标准差: 14.0553, 秩和检验: 3.3082e-20
WOAWC：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F10
WOA：最差值: 1.5099e-14, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.7962e-15, 标准差: 2.7095e-15, 秩和检验: 8.0087e-16
PSO：最差值: 9.7922, 最优值: 6.6035, 平均值: 7.9625, 标准差: 0.82157, 秩和检验: 3.3111e-20
GSA：最差值: 2.4273e-08, 最优值: 7.4046e-09, 平均值: 1.1972e-08, 标准差: 3.1967e-09, 秩和检验: 3.3111e-20
WOAWC：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F13
WOA：最差值: 1.0486, 最优值: 0.095879, 平均值: 0.52226, 标准差: 0.20346, 秩和检验: 8.3791e-16
PSO：最差值: 2049.9705, 最优值: 17.6267, 平均值: 125.5263, 标准差: 311.1892, 秩和检验: 7.0661e-18
GSA：最差值: 31.015, 最优值: 0.074611, 平均值: 9.7987, 标准差: 7.3703, 秩和检验: 1.01e-16
WOAWC：最差值: 0.26314, 最优值: 0.043871, 平均值: 0.13822, 标准差: 0.04814, 秩和检验: 1

实验结果表明，改进的鲸鱼算法和原鲸鱼算法、引力搜索算法、粒子群算法相比，收敛精度和算法稳定性上都要优于其它算法。

三、参考文献

[1] 郭振洲, 王平, 马云峰, 等. 基于自适应权重和柯西变异的鲸鱼优化算法[J]. 微电子学与计算机, 2017, 34(9): 20-25.

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