[MIT]微积分重点第三课极值和二阶导数学习笔记

0.先上本节课目录：

1.二阶导数：导数的导数

我们经常需要定位极值点，并判别是极大值还是极小值。定位极值点是一阶导数的职责，一阶导数为0即为极值点；是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了，二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。

2.二阶导数的例子

这里用距离、速度（距离的导数）和加速度（速度的导数）来举例。
距离：
y=x2y=x^2y=x2
速度：
d⁡yd⁡x=2x\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=2xdxdy=2x
加速度：
d⁡2yd⁡x2=2\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=2dx2d2y=2
后面会讲到，这里的二阶导数永远大于0，图像为凸。

3.凸函数和凹函数

按照国外教材定义，如果该处的二阶导数大于0，则这里的曲线向上弯曲（bending up），图像为凸（convex）；反之，二阶导数小于0，则这里的曲线向下弯曲（bending down），图像为凹（concave）。
函数一：
y=sin⁡xy=\sin xy=sinx
函数二：
d⁡yd⁡x=cos⁡x\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\cos xdxdy=cosx
函数三：
d⁡2yd⁡x2=−sin⁡x\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=-\sin xdx2d2y=−sinx
观察下图中 x=π/2x=\pi/2x=π/2 （画圆点的部分）的位置， y′=0y'=0y′=0 ，yyy 是极值位置， y′′<0y''<0y′′<0 ， yyy 此时为凹，所以这里为极大值点；在 x=πx=\pix=π （画方框的部分），y′′=0y''=0y′′=0，这里为拐点，图像由凹变凸。
总结下两个概念：
极值是一阶导数为0的点；
拐点（inflection point）是二阶导数为0的点，代表图形弯曲性的改变。

4.寻找极值点和拐点

例子：寻找 y=x3−x2y=x^3-x^2y=x3−x2 的极值点和拐点。（极值点和拐点只需求出令一阶导数和二阶导数为0的点，这里教授似乎是想画图）
先求一阶导数：
y′=3x2−2xy'=3x^2-2xy′=3x2−2x
令一阶导数等于0：
y′=3x2−2x=0x(3x−2)=0x1=0x2=23y'=3x^2-2x=0 \\ x(3x-2)=0 \\ x_1=0\quad x_2=\frac{2}{3} y′=3x2−2x=0x(3x−2)=0x1=0x2=32
求二阶导数：
y′′=6x−2y''=6x-2y′′=6x−2
将 x1=0x2=2/3x_1=0\quad x_2=2/3x1=0x2=2/3 代入 y′′y''y′′ 得到：
y′′(0)=−2<0图像为凹y′′(23)=2>0图像图凸y''(0)=-2<0图像为凹 \\[2ex] y''(\frac{2}{3})=2>0图像图凸 y′′(0)=−2<0图像为凹y′′(32)=2>0图像图凸
令二阶导数等于0：
y′′=6x−2=0x=13y''=6x-2=0 \\ x=\frac{1}{3} y′′=6x−2=0x=31
得到拐点为 x=1/3x=1/3x=1/3 ，至此就可以画出 yyy 的大致图像，与下图相符。

PS：这里求拐点和图像的弯曲性直接求二阶导数大于0不是更简单，可能代入求值讲解更加直观。

5.应用：上班的最短时间（求最小值）

例子：教授从家到MIT上课需要先开普通公路（30 mile/h）再开高速公路（60 mile/h），假设普通公路到高速公路是连续的，求何时上高速最快。
解：
TIME=b−x60+a2+x230TIME′=−160+12⋅130a2+x2⋅2x(这里求导需要后面的知识：链式法则)TIME=\frac{b-x}{60}+\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{30} \\[2ex] TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad(这里求导需要后面的知识：链式法则) TIME=60b−x+30a2+x2TIME′=−601+21⋅30a2+x21⋅2x(这里求导需要后面的知识：链式法则)
令 TIME′=0TIME'=0TIME′=0，得到：
TIME′=−160+12⋅130a2+x2⋅2x=0TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad=0 \\ TIME′=−601+21⋅30a2+x21⋅2x=0
a2+x2=2xa2+x2=4x2x=a3\begin{aligned} \sqrt{a^2+x^2}&=2x \\ a^2+x^2&=4x^2 \\ x&=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{aligned} a2+x2a2+x2x=2x=4x2=3a
求二阶导：(链式法则和乘法法则)
TIME′′=1⋅130(a2+x2)−12+x⋅130⋅(−12)(a2+x2)−22⋅2x=130a2+x2−x230(a2+x2)32\begin{aligned} TIME''&=1\cdot\frac{1}{30}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}+x\cdot\frac{1}{30}\cdot(-\frac{1}{2})(a^2+x^2)^{-\frac{2}{2}}\cdot2x \\[2ex] &=\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{x^2}{30(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \\ \end{aligned} TIME′′=1⋅301(a2+x2)−21+x⋅301⋅(−21)(a2+x2)−22⋅2x=30a2+x21−30(a2+x2)23x2
TIME′′(a3)=130⋅2a3−a2330(2a3)3=1203a−130⋅8a333⋅3a2=1203a−1803a=3803a>0\begin{aligned} TIME''(\frac{a}{\sqrt{3}})&=\frac{1}{30\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}}-\frac{\frac{a^2}{3}}{30(\frac{2a}{\sqrt{3}})^3} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{30\cdot\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{a^2}} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{80\sqrt{3}a} \\ &=\frac{3}{80\sqrt{3}a}>0 \end{aligned} TIME′′(3a)=30⋅32a1−30(32a)33a2=203a1−30⋅338a3⋅a231=203a1−803a1=803a3>0
此时图像为凸， x=a/3x=a/\sqrt{3}x=a/3 ，为极小值，又只有一个极值点，所以该点为最小值点。