[MIT]微积分重点第十一课对数函数和反三角函数的导数学习笔记

1.对数函数的导数

首先回顾了之前学过的求导法则：加减、乘除和链式法则。下面的求导将用到链式求导法则和逆函数。
根据逆函数可以得到： f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=xf−1(f(x))=x 和 f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=yf(f−1(y))=y 。对其进行链式法则求导就可以得到逆函数的导数。

复习下逆函数：
例： y=ax+b=f(x)y=ax+b=f(x)y=ax+b=f(x) 。求得逆函数为： x=y−ba=f−1(y)x=\frac{y-b}{a}=f^{-1}(y)x=ay−b=f−1(y) 。
可以看到原函数 f(x)f(x)f(x) 为先乘再加；逆函数 f−1(y)f^{-1}(y)f−1(y) 为先减再除。

下面正式开始求对数函数的导数：
使用 y=ex=f(x)y=e^x=f(x)y=ex=f(x) 构造前面所说的函数： f−1(f(x))=ln⁡(ex)=xf^{-1}(f(x))=\ln(e^x)=xf−1(f(x))=ln(ex)=x ，接着对两边同时求导：
d⁡d⁡x(ln⁡(ex))=d⁡d⁡x(x)d⁡d⁡y(ln⁡y)d⁡d⁡x(ex)=1d⁡d⁡y(ln⁡y)ex=1d⁡d⁡y(ln⁡y)=1exd⁡d⁡y(ln⁡y)=1y\begin{aligned} &\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(\ln(e^x))=\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(x) \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(e^x)=1 \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)e^x=1 \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)=\frac{1}{e^x} \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)=\frac{1}{y} \\[2ex] \end{aligned} dxd(ln(ex))=dxd(x)dyd(lny)dxd(ex)=1dyd(lny)ex=1dyd(lny)=ex1dyd(lny)=y1

求导时，没有幂函数可以得到 −1-1−1 次方（幂函数的 n=0n=0n=0 时，右侧等于 000 ，得不到 −1-1−1 次方）。这就像导数列表中的一个遗漏，现在终于补充完整了。观察对数函数及其导数发现，对数曲线时在增长，但是其斜率在减小，当 xxx 很大时，它几乎不怎么增长了。

使用 x=ln⁡y=f−1(y)x=\ln y=f^{-1}(y)x=lny=f−1(y) 构造前面所说的另一函数： f(f−1(y))=eln⁡y=yf(f^{-1}(y))=e^{\ln y}=yf(f−1(y))=elny=y ，接着对两边同时求导：
d⁡d⁡y(eln⁡y)=d⁡d⁡y(y)eln⁡yd⁡d⁡y(ln⁡y)=1yd⁡d⁡y(ln⁡y)=1d⁡d⁡y(ln⁡y)=1y\begin{aligned} &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(e^{\ln y})=\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(y) \\[2ex] &e^{\ln y}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=1 \\[2ex] &y\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=1 \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=\frac{1}{y} \\[2ex] \end{aligned} dyd(elny)=dyd(y)elnydyd(lny)=1ydyd(lny)=1dyd(lny)=y1
与之前求的结果相同。

2.反三角函数的导数

2.1 sin⁡−1y\sin^{-1}ysin−1y 的导数

同样，使用 x=sin⁡−1yx=\sin^{-1}yx=sin−1y 构造函数： y=sin⁡(sin⁡−1y)y=\sin(\sin^{-1}y)y=sin(sin−1y) ，接着对两边同时求导：
1=cos⁡(sin⁡−1y)d⁡d⁡y(sin⁡−1y)1=1−y2d⁡d⁡y(sin⁡−1y)d⁡d⁡y(sin⁡−1y)=11−y2\begin{aligned} &1=\cos(\sin^{-1}y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y) \\[2ex] &1=\sqrt{1-y^2}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y) \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \\[2ex] \end{aligned} 1=cos(sin−1y)dyd(sin−1y)1=1−y2dyd(sin−1y)dyd(sin−1y)=1−y21
cos⁡(sin⁡−1y)\cos(\sin^{-1}y)cos(sin−1y) 为什么等于 1−y2\sqrt{1-y^2}1−y2 下图有解释：

2.2 cos⁡−1y\cos^{-1}ycos−1y 的导数

使用 x=cos⁡−1yx=\cos^{-1}yx=cos−1y 构造函数： y=cos⁡(cos⁡−1y)y=\cos(\cos^{-1}y)y=cos(cos−1y) ，接着对两边同时求导：
1=−sin⁡(cos⁡−1y)d⁡d⁡y(cos⁡−1y)1=−1−y2d⁡d⁡y(cos⁡−1y)d⁡d⁡y(cos⁡−1y)=−11−y2\begin{aligned} &1=-\sin(\cos^{-1}y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y) \\[2ex] &1=-\sqrt{1-y^2}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y) \\[2ex] &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \\[2ex] \end{aligned} 1=−sin(cos−1y)dyd(cos−1y)1=−1−y2dyd(cos−1y)dyd(cos−1y)=−1−y21

根据前面求得的反三角函数的导数，我们知道函数 y=sin⁡−1x+cos⁡−1xy=\sin^{-1}x + \cos^{-1}xy=sin−1x+cos−1x ，其导数为 000 ，说明函数 yyy 为常函数。如下图所示， y=sin⁡−1x+cos⁡−1x=θ+α=90°=π/2y=\sin^{-1}x + \cos^{-1}x=\theta + \alpha=90\degree=\pi/2y=sin−1x+cos−1x=θ+α=90°=π/2 。