[MIT]微积分重点第六课 sinx和cosx的导数学习笔记

这节课先看了教授的视频没看懂，后来又去看了《普林斯顿微积分读本》看懂了，再看教授的课程才明白，这里就按照我的理解讲下《普林斯顿微积分读本》里的证明过程。

1.求 sin⁡x\sin xsinx 的导数

令 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx ，则：
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx+cos⁡xsin⁡Δx−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡x(cos⁡Δx−1)+cos⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0[sin⁡x(cos⁡Δx−1)Δx+cos⁡xsin⁡ΔxΔx]=sin⁡xlim⁡Δx→0(cos⁡Δx−1)Δx+cos⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x(\cos\Delta x-1)+\cos x\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\left[\sin x\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right] \\[2ex] &=\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx=Δx→0limΔxsinxcosΔx+cosxsinΔx−sinx=Δx→0limΔxsinx(cosΔx−1)+cosxsinΔx=Δx→0lim[sinxΔx(cosΔx−1)+cosxΔxsinΔx]=sinxΔx→0limΔx(cosΔx−1)+cosxΔx→0limΔxsinΔx
到这里就计算不下去了，我们需知道当 Δx\Delta xΔx 趋于0时， (cos⁡Δx−1)Δx\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}Δx(cosΔx−1) 的极限和 sin⁡ΔxΔx\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}ΔxsinΔx 的极限。

2. 求 sin⁡xx\frac{\sin x}{x}xsinx 在0处的极限

如下图所示， OA=1OA=1OA=1 ，∠AOB=x\angle AOB=x∠AOB=x ，则 ∣AC∣=sin⁡x|AC|=\sin x∣AC∣=sinx ， ∣DB∣=tan⁡x|DB|=\tan x∣DB∣=tanx 。

∵S△OAB<S扇形OAB<S△ODB∴sin⁡x2<x2<tan⁡x2∴sin⁡x<x<tan⁡xx∈[0,π2]∴1sin⁡x>1x>1tan⁡xx∈[0,π2]∴1>sin⁡xx>cos⁡xx∈[0,π2]∴cos⁡x<sin⁡xx<1x∈[0,π2]lim⁡x→0cos⁡x=1,lim⁡x→01=1\because S_{\triangle OAB}<S_{扇形 OAB}<S_{\triangle ODB} \\[2ex] \therefore\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\tan x}{2} \\[2ex] \therefore\sin x<x<\tan x \quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] \therefore\frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\tan x}\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] \therefore1>\frac{\sin x}{x}>\cos x\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] \therefore\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] \lim_{x \to 0}\cos x=1,\lim_{x \to 0}1=1 ∵S△OAB<S扇形OAB<S△ODB∴2sinx<2x<2tanx∴sinx<x<tanxx∈[0,2π]∴sinx1>x1>tanx1x∈[0,2π]∴1>xsinx>cosxx∈[0,2π]∴cosx<xsinx<1x∈[0,2π]x→0limcosx=1,x→0lim1=1
根据三明治定理（夹逼定理），得到：
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 x→0limxsinx=1
这里，教授是分别证明 sin⁡x<x\sin x<xsinx<x 和 tan⁡x>x\tan x > xtanx>x ，最后也是使用夹逼定理得证。

3. 求 (cos⁡x−1)x\frac{(\cos x-1)}{x}x(cosx−1) 在0处的极限

lim⁡x→0cos⁡x−1x=lim⁡x→0(cos⁡x−1)(cos⁡x+1)x(cos⁡x+1)=lim⁡x→0cos⁡2x−1x(cos⁡x+1)=lim⁡x→01−sin⁡2x−1x(cos⁡x+1)=lim⁡x→0−sin⁡2xx(cos⁡x+1)=lim⁡x→0[−sin⁡x⋅sin⁡xx⋅1(cos⁡x+1)]=−0⋅1⋅11+1=0\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{\cos x-1}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x(\cos x+1)} \\[2ex] &=\lim_{x \to 0}\frac{\cos^2x-1}{x(\cos x+1)} \\[2ex] &=\lim_{x \to 0}\frac{1-\sin^2x-1}{x(\cos x+1)} \\[2ex] &=\lim_{x \to 0}\frac{-\sin^2x}{x(\cos x+1)} \\[2ex] &=\lim_{x \to 0}[-\sin x\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{(\cos x+1)}] \\[2ex] &=-0\cdot1\cdot\frac{1}{1+1} \\[2ex] &=0 \end{aligned} x→0limxcosx−1=x→0limx(cosx+1)(cosx−1)(cosx+1)=x→0limx(cosx+1)cos2x−1=x→0limx(cosx+1)1−sin2x−1=x→0limx(cosx+1)−sin2x=x→0lim[−sinx⋅xsinx⋅(cosx+1)1]=−0⋅1⋅1+11=0
这里，教授用了“捷径”，求 (cos⁡x−1)x\frac{(\cos x-1)}{x}x(cosx−1) 在0处的极限，就是求 cos⁡x\cos xcosx 在0处的导数，由图像可知，此处为极大值点，其导数为0。

4.再求 sin⁡x\sin xsinx 的导数

我们已经知道当 Δx\Delta xΔx 趋于0时， (cos⁡Δx−1)Δx\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}Δx(cosΔx−1) 的极限为0和 sin⁡ΔxΔx\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}ΔxsinΔx 的极限为1，继续1小节中的求导：
f′(x)=sin⁡xlim⁡Δx→0(cos⁡Δx−1)Δx+cos⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x\begin{aligned} f'(x)&=\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] &=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1 \\ &=\cos x \end{aligned} f′(x)=sinxΔx→0limΔx(cosΔx−1)+cosxΔx→0limΔxsinΔx=sinx⋅0+cosx⋅1=cosx
这里已经得到 sin⁡x\sin xsinx 的导数为 cos⁡x\cos xcosx 。

5.求 cos⁡x\cos xcosx 的导数

同样，令 f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx ，则：
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0cos⁡(x+Δx)−cos⁡xΔx=lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx−cos⁡xΔx=lim⁡Δx→0cos⁡x(cos⁡Δx−1)−sin⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0[cos⁡x(cos⁡Δx−1)Δx−sin⁡xsin⁡ΔxΔx]=cos⁡xlim⁡Δx→0(cos⁡Δx−1)Δx−sin⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=cos⁡x⋅0−sin⁡x⋅1=−sin⁡x\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x(\cos\Delta x-1)-\sin x\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] &=\lim_{\Delta x \to 0}\left[\cos x\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}-\sin x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right] \\[2ex] &=\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}-\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] &=\cos x\cdot0-\sin x\cdot1 \\ &=-\sin x \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxcos(x+Δx)−cosx=Δx→0limΔxcosxcosΔx−sinxsinΔx−cosx=Δx→0limΔxcosx(cosΔx−1)−sinxsinΔx=Δx→0lim[cosxΔx(cosΔx−1)−sinxΔxsinΔx]=cosxΔx→0limΔx(cosΔx−1)−sinxΔx→0limΔxsinΔx=cosx⋅0−sinx⋅1=−sinx