SHA-256算法中，使用64个4字节整型常量。这些常量表示前64个质数立方根小数部分的前32位。

要取立方根小数部分，需要了解double类型(8字节==64位)的内存布局，对应标准IEEE 754，以下为double类型64位从高到低的解释

1 bit 符号位 S
11 bit 阶码位 E
52 bit 小数位 M

转为十进制的公式：

(−1)S×2E−1023×[1+∑i=152(Mi×2−i)](-1)^S \times 2^{E-1023} \times [1+\sum_{i=1}^{52}(M_i \times 2^{-i}) ] (−1)S×2E−1023×[1+i=1∑52(Mi×2−i)]

以质数2为例，它的小数部分如下：

0.259921049894873≈4×16−1+2×16−2+8×16−3+...0.259921049894873 \approx 4 \times 16 ^{-1} + 2 \times 16 ^{-2} + 8 \times 16 ^{-3} + ... 0.259921049894873≈4×16−1+2×16−2+8×16−3+...

对应的十六进制为0x428a2f98。

需要注意的则是阶码部分，转换为十进值是乘以2的次方，反过来则是除以2的次方（右移）。

C

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(int argc, char* argv[])
{int arrPrimeNum[80] = {0};int i = 0, j = 0;double dNum = 0;char bFlag = 0;int nCountPrime = 0;int nNum = 1;unsigned int nTmp = 0;long long int llNum = 0;while (80 != nCountPrime){nNum += 1;bFlag |= 1;j = sqrt(nNum);for (i = 2; i <= j; ++i){if (nNum % i == 0){bFlag &= 0;break;}}if (bFlag){arrPrimeNum[nCountPrime++] = nNum;}}for (i = 0; i < nCountPrime; ++i){dNum = exp(log(arrPrimeNum[i]) / 3);llNum = *(long long*)&dNum;/*IEEE 754fractional part： 0-51 from left to rightSHA-256 need 32-bit word>> (52-4*8) == 20SHA-512 need 64-bit wordBig integer library is needed to implementeg. arrPrimeNum[0] == 2step code == b01111111111-1023 == 0shift right (20 - 0)0 01111111111 01000010 10001010 00101111 10011000 11010111 00101000 101101000010 10001010 00101111 10011000arrPrimeNum[4] == 11step code == b10000000000-1023 == 1shift right (20 - 1)0 10000000000 00011100 10101011 01100001 00101101 11111001 10100100 01100011100 10101011 01100001 00101101 1*/nTmp = 20 - (((llNum >> 52) & 0x7FF) - 0x3FF );printf("0x%08llx, ", (llNum >> nTmp) & 0xFFFFFFFF);if ((i + 1) % 8 == 0){printf("\n");}}getchar();return 0;
}

python

上面用c语言生成了sha-256的4字节常数序列，而sha-512的常数序列与之类似，使用80个8字节整型常量，这些常量表示前80个质数立方根小数部分的前64位。

小数部分取64位，就不能利用double类型实现了，因为double类型一共就64位，根据IEEE 754，小数部分只有52位。所以需要借助大数库来生成sha-512的常数序列，这里借助gmpy库来实现。

import gmpy2
from gmpy2 import mpfr, floor, next_prime
def convert_primes_cube_fractional_part_to_hex_constant(prime, hex_chars=8):"""Note if you want the first 8 decimal (base=10) digits of a number,you multiply the fractional part by 10**8 and then look at the integer part In this case we want first 8 hex digits, so multiply fractional part by 16**8and then look at integer part (and return in hexadecimal)."""cube_root = mpfr(prime)**(1/mpfr(3))frac_part = cube_root - floor(cube_root)# format_str = '%%0%dx' % hex_chars  # format_str will be '%08x' if hex_chars=8 so always emits # 8 zero-padded hex digits # return format_str % floor(frac_part*(16**hex_chars))strRet = "{0:1a}".format(floor(frac_part*(16**hex_chars)))# 0xc.19bf174p+28strRet = strRet[2:]strRet = strRet.replace(".","")# c19bf174p+28strRet = strRet[:strRet.index("p+")]# c19bf174while(len(strRet) < 8):strRet = "0" + strRetreturn strRet;def generate_n_primes(n=64):p = 2i = 0while i < n:yield pp = next_prime(p)i += 1# SHA-256 constants
# for i,p in enumerate(generate_n_primes(64)):
#     if i % 8 == 0:
#         print("")
#     print(convert_primes_cube_fractional_part_to_hex_constant(p, hex_chars=8), end=" ")# SHA-512 constants
gmpy2.get_context().precision=100
for i,p in enumerate(generate_n_primes(80)):if i % 4 == 0:print("")print(convert_primes_cube_fractional_part_to_hex_constant(p, hex_chars=16), end=" ")

参考资料

https://crypto.stackexchange.com/questions/41496/how-to-generate-the-sha-2-constants

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C

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