冯·米塞斯迭代法（Von Mises iteration）

2024-05-10 17:46:52

冯·米塞斯迭代法

冯·米塞斯迭代（Von Mises iteration）用于求解矩阵AAA最大特征值对应的特征向量（Av=λvAv=\lambda vAv=λv）。冯·米塞斯迭代也被称作，阶乘迭代法（Power iteration）。

计算过程

假设矩阵AAA具有特征值λ\lambdaλ，严格大于其他特征值，且向量b0b_0b0与在最大特征值对应的特征向量方向上具有非零分量（即与该特征向量不正交）。根据迭代公式，计算bkb_kbk：

最终，bkb_kbk将收敛到最大特征值对应的特征向量。

证明过程

可以对矩阵AAA进行Jordan对角化，A=VJV−1A=VJV^{ - 1}A=VJV−1。第一个Jordan块对应于AAA的最大特征值。
由于v1v_1v1…vnv_nvn线性无关，b0b_0b0可以写为v1v_1v1…vnv_nvn的线性组合：

将递推公式展开，有：

将bkb_kbk展开：

可知bkb_kbk与v1v_1v1同方向，且bkb_kbk的范数为1，因此bkb_kbk即为矩阵AAA最大特征值对应的特征向量。

（资料来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration）

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