【LeetCode】799.香槟塔

题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有 1 个玻璃杯，第二层有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）
例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。
现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1：

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2：

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3：

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

提示：

0 <= poured <= 109
0 <= query_glass <= query_row < 100

方法一：线性DP

class Solution {public:double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {vector<vector<double>> dp(105, vector<double>(105, 0.0));dp[0][0] = poured;for(int i=0; i<=query_row; i++){for(int j=0; j<=i; j++){// 说明杯子里的水不会外溢，考虑下一个杯子if(dp[i][j] <= 1)   continue;dp[i+1][j] += (dp[i][j] - 1)/2;dp[i+1][j+1] += (dp[i][j] - 1)/2; }}   return min(dp[query_row][query_glass], 1.0);}
};

心得

这道题我也想到了DP，但是我的方法和题解正好相反，我是从下往上考虑，即
dp[i][j] = 0.5 * dp[i-1][j-1] + 0.5 * dp[i-1][j]
我这个思路，在考虑杯子满、未满、空的时候就碰壁了，不知道该怎么往下解决。
但是我今天能想到DP，已经是一种进步了！！
另外，对于vector<vector<double>>的使用也有进步了，记住double和int不能搭配使用，如果变量是int型，0.5 -> 0，这个点我也琢磨了很久才想出来。

方法：线性DP（自上而下）
定义dp[i][j]为第 i 行第 j 个杯子所流经的水量;
令初始dp[i][j] = poured，最终答案为min(dp[i][j], 1.0)。
当dp[i][j] <= 1 的时候，说明杯子里的水不会外溢，反之，则说明杯子里的水会等额地流向其他两个杯子。

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