光滑曲线_光滑流形初步(3)—

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fjd小弟：光滑流形初步(2)——切向量与微分zhuanlan.zhihu.com

上一次讲了切向量与微分(切映射),光看那堆数学语言可能不那么好理解,这次就直接给出一些例子来建立直观.

例.

维球面

在

处的切空间.

切空间示意图

设

为

上经过

的光滑曲线,

.两边关于

求导,就有

,这说明

.另一方面,对

,若

,考虑

,则

,这说明

.从而

问题:这个例子里的切向量跟之前所说的算子矛盾吗？

例.计算

的微分.

取

中坐标系为

,则

可写成

一般地,对于

,取

,则

这就是一般欧氏空间之间向量值函数的微分的计算.

矩阵群

矩阵群是流形的一类很好的例子,而一般的典型群都是

群,为方便讨论,下面引入一点

群的概念:

定义(Lie群).若集合

上有相容的群结构和流形结构,即群运算

是光滑的,则称

是一个

群.

意思就是说

群本身是个光滑流形,在这个流形上还有一个对应的光滑群结构.

下面先介绍一些典型群.

定义(典型群).一般线性群

, 特殊线性群

,一般正交群

，特殊正交群

,酉群

,特殊酉群

.

暂时先用这些所以就先介绍这些,GTM222中对这些矩阵群有着详细的叙述.

下面介绍重要的指数映照:

定义(指数映照).设

或

,

为有限维

-线性空间,记

为

上

-线性变换构成的

线性空间,

为

上可逆

-线性变换,

在复合运算下构成一个

群,称为一般线性群.

,定义指数映照为

.

性质.1)若

,则

;2)

;3)

;4)

.

上述性质请读者自行验证.

注:对

是一条经过

的光滑曲线.

由前面的结论,流形的切空间维数与流形本身的维数是相等的,而矩阵群又可以看作是欧氏空间中的一个子集,所以下面我们可以利用指数映照来计算矩阵群的切空间.

例.一般线性群

因为对

经过

,且满足

,故

例.一般正交群

取

,作指数映照

,要使

,需要满足

.两边对

求导,可得

,即

为

的必要条件.另一方面,若

,则

,从而

.故

.进而

类似地可以证明,

这些结果可以由读者仿照例子自行验算.

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