光滑曲线_高等数学八：（3）曲线积分与路径无关的条件

本节讨论平面第二型曲线积分与路径无关的条件。（无关时记为

）

与路径无关的充要条件

在区域

内任意取定两点

.曲线积分

在区域

内与路径无关的充分必要条件是：对于

内任意一条简单逐段光滑闭曲线

，沿

的曲线积分为零，即：

既然该曲线积分在对应区域内任意一条闭合曲线积分都等于零，又因为对于

之间任意给定的两条路径，总是可以构成一条闭合曲线，那么该矢量函数在任何路径上的积分都相等，也即积分与路径无关。

根据格林公式，对闭合曲线的积分可以换成对其内部的二重积分，故该充要条件的推论为：

设

是单连通区域，函数

与

在

内有一阶连续偏导数，则对

内任意取定的两点

与

，曲线积分

与路径无关的充分必要条件是：

等式

在

内处处成立.

满足这个条件后，由于

是单连通区域，那么

内任意的一条闭合曲线积分，都可以替换成曲线内部的二重积分，而该二重积分的被积函数又在每一点上都等于零，因此对区域内任意一条闭合曲线的积分都等于零，得到最开始的充要条件。

从条件

的形式不难联想到

二元函数混合偏导数相等这个特点，于是有：

设函数

在单连通区域

上有一阶连续偏导数，则等式：

在

内恒成立的充分必要条件是

恰是某个函数

的全微分，即有：

（常称

是

的原函数。）

对任意两点

，

有：

其中

表示函数

在

两点处的函数值.

至此我们得到平面第二型曲线积分与路径无关的最终条件，它要求被积函数是某个二元函数的全微分，显然这默认要求了该函数必须在区域上每一点都可微。并且此时该第二型曲线积分的计算变得相当简单，它等于该函数在曲线端点的取值之差。

（这里可以联系牛顿力学基本概念和原理（动力学）里面的保守力部分，事实上前一节也提到第二型曲线积分可以用于描述质点在该曲线上运动时力对其所做功的大小。

那么所谓的“第二型曲线积分与路径无关”，从物理角度看待就是“质点从

点以任意路径运动到

点，外力所做的功都相等”。这种力的其实就是保守力，不管以什么路径移动，最终力所做的功总是等于质点在

两点的势能之差。

根据这个理解，这里的

就是平面上每一点的势能相反数（势能变化量和外力做的功互为相反数），而

分别是力场在平面上每一点沿

轴的分量。

）

原函数的求法

有了这个结论，我们在求与路径无关的第二型曲线积分

时，只需设法求出被积函数的原函数即可，下面给出三种求取原函数的方法：

第一种方法：

在

中取定一个特殊点

作为积分的起始点，然后选取一条特殊的路径求曲线积分

，具体的特殊起始点和特殊路径依具体问题而定。通常选择坐标原点作为起始点，平行于坐标轴的折线作为积分路径。

（可能有人会发现这里取不同的起始点，最终得到的曲线积分

是不一样的，但其实不同的起始点积分后只是相差一个常数项，当我们代入题目给定的积分上下界后，这个常数项总是会被抵消掉，因此选定不同的起始点并不影响最终题目所求的积分值。这跟物理中我们讨论势能时，势能零点可以任取是一个道理。）

第二种方法：（个人常用方法）

因为被积函数看成全微分，那么：

此时我们可以将

对

进行不定积分，但这结果并不直接是我们所要求的原函数

。准确来说，假如将该积分记为

，则

这是因为对

求偏导的过程中，有关

的函数都被视为常数，也即是上面所说的不定积分，最后加上的任意“常数”，应该是任意关于

的函数。

最后再将

对

求偏导，与

作比较，便可得到

的函数形式，进而可得到原函数

的形式。

第三种方法：（相当玄学，由于缺乏相应的直觉，个人很少尝试这种方法）

凑全微分的方法，从给定的

出发，利用全微分的法则，从形式上把它凑成某个函数的全微分。