投资组合的方差公式推导

• 背景
• 投资组合的期望收益率
• 投资组合的期望收益方差
• 随机变量的线性组合的方差公式推导
• \\(n\\) 项完全平方公式的推导
• 言归正传，继续推导随机变量的线性组合的方差公式
• 总结

背景

今天在看财务管理学课本，风险与收益章节的投资组合的风险计算这一节时， 发现课本所给的投资组合的总体期望收益方差的公式中有 \\(i \neq j\\) 的标注，但是看后面的具体计算步骤时， 却使用了 \\(i = j\\) 的情况下的计算方式，故而感到疑惑，搜索百度，未见公式上有 \\(i \neq j\\) 的标志。 因此打算自己推导一下。

投资组合的期望收益率

\\(n\\) 为投资项目数量，\\({w}_{i}\\) 为第\\(i\\) 项投资在投资组合中所占的比重， \\({R}_{i}\\) 为第 \\(i\\) 项投资的期望收益率

\[{R}_{P} = \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i} {R}_{i}}\]

投资组合的期望收益方差

投资组合的方差实际上就是投资组合的期望收益率的方差，它是 \\(n\\) 个随机变量的线性组合的方差

\[{\sigma}_{P}^{2} = \sigma^2 \left( {R}_{P} \right)\]

翻开尘封了一整年的概率论课本，找到公式

\[D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

课本上只给出了两个随机变量的线性组合的方差公式，并不知道推广到 \\(n\\) 项随机变量的线性组合的方差应该是怎样。

随机变量的线性组合的方差公式推导

由课本给出的以下公式

\[D(X) = E[(X-E(X))^2]\] \[D(aX) = a^2D(X)\] \[Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)\] \[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\] \[D(X + Y) = E[(X+Y) - E(X+Y)]^2 = E[(X-E(X)) + (Y-E(Y))]^2 = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

得到

\[D(aX + bY) = E[(aX+bY) - E(aX+bY)]^2 = E[(aX-aE(X)) + (bY-bE(Y))]^2 = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)\] \[D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2\]

很显然，根据 \[D(X)=Cov(X,X)\] ，这个结构属于是一个 \\(n\\) 项的完全平方式，但是我从小就只学过两项的完全平方公式。。。

\\(n\\) 项完全平方公式的推导

私以为对于 \\(({a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n})^2\\) 的计算，可以看作一个行向量和一个列向量的积， 然后对结果的矩阵的所有元素求和便可得出结果

\[ sum \begin{pmatrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \cdots \\ {a}_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} \end{pmatrix} = sum \begin{pmatrix} {a}_{1} * {a}_{1} & {a}_{1} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{1} * {a}_{n} \\ {a}_{2} * {a}_{1} & {a}_{2} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{2} * {a}_{n} \\ \cdots \\ {a}_{n} * {a}_{1} & {a}_{n} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} * {a}_{n} \end{pmatrix} = \sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{n}{ {a}_{i} {a}_{j} }}\]

言归正传，继续推导随机变量的线性组合的方差公式

上面已经把 \\(n\\) 项投资组合的方差公式推导到了下面的形式

\[ D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2 \]

通过刚刚推导出来的 \\(n\\) 项完全平方公式和 \\(D(X)=Cov(X,X)\\) 将该式展开成下面的形式，便是我们推导过程中的最终式

\[ D\left( {R}_{P} \right) = \sum _{i=1}^{n}{ \sum _{j=1}^{n}{ {w}_{i} {w}_{j} Cov({R}_{i}, {R}_{j}) } } \]

总结

这最终推导出来的公式与课本上的公式是一样的，但是并不具有 \\(i \neq j\\) 的附加条件，因为在计算过程中，当 \\(i\\) 和\\(j\\) 相等的时候， 得出的项是某项投资的方差与权重的积 \\({w}_{i}^2\sigma_{i}^{2}\\) ，这是符合随机变量的线性组合的方差公式的。 所以，课本上公式的附加条件\\(i \neq j\\) 是课本的错误，不仅通过我个人的推导证明了，而且后面的例题等， 也都标明这一条件不成立。