离散数学 - 第一章命题和命题公式

第一章命题和命题公式

学习目标

1、理解命题的概念，能够正确的判别什么是命题，并能够给出命题的真值

①具有唯一真值的陈述句称作命题。真值为真的命题称为真命题，真值为假的称为假命题。
②由原子命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题。

2、掌握联结词的定义及运算次序

联结词：

在命题符号化时，‘如果这样的连词将表示为联结词，联结词都具有特定的符号。
由原子命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题

 ①否定：设P为命题，P的否定是一个复合命题，记作¬P。 非P真值表：  P   ¬P  T   FF  T@合取：设P、Q为两个命题，P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q（P并且Q）。当且仅当P、Q同时为T时，P∧Q为T真值表：   P   Q   P∧QT    T   TT  F   FF  T   FF  F   F   ③析取：设P、Q为两个命题，P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q（P或者Q）。当且仅当P、Q同时为F时，P∧Q为F真值表： P   Q   P∨QT    T   TT  F   TF  T   TF  F   F   ④异或：设P:王小林今天去美国，设Q：王小林今天去欧洲，复合命题中的两个原子命题不会同时成立，他们之间具有相斥性，称为异或。可以表示为（P∧¬Q）∨（¬P∧Q）真值表：   P   ¬P  P∧¬PT   F   FF  T   F⑤条件：设P、Q为两个命题，P和Q组成的条件是一个复合命题，记作P→Q（P则Q）。当且仅当P的真值为T时、Q的真值为F时，P→Q为F真值表：    P   Q   P→QT    T   TT  F   FF  T   TF  F   T⑥双条件：设P、Q为两个命题，P和Q组成的双条件是一个复合命题，记作P↔Q（P当且仅当Q）。当且仅当P、Q的真值相同时，P↔Q为T真值表： P   Q   P↔QT    T   TT  F   FF  T   FF  F   T

联结词的优先次序：¬，∧，∨，→，↔

3、能够将命题符号化

用符号来表示命题的这个过程称为命题的符号化。
分别使用P、Q、R表示这三个命题P:Π是有理数 FQ：所有的素数都是奇数 FR:6是一个合数 T

4、掌握命题的公式，重言式、矛盾式、及可满足式的定义，并能进行正确的识别

合式公式：

将命题用联结词和圆括号按一定的逻辑关系连接起来的符号串称为合式公式。

重言式：

设A为一个命题公式，若A在他的各种指派情况下，其取值均为真，则称公式A为重言式或永真式（常记为T）。

矛盾式：

设A为一个命题公式，若A在他的各种指派情况下，其取值均为假，则称公式A为矛盾式或永假式（常记为F）。

可满足式：

设A为一个命题公式，若A在他的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A是可满足式。若可满足式A至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式。

推导结论：

 （1）、合式公式P是可满足式，等价于P至少存在一个成真赋值。（2）、重言式一定是可满足式，但满足式不一定是重言式。（3）、若两个命题公式P和Q等价，则P↔Q是重言式。

5、能够构造命题公式的真值表，并根据两个公式的真值表证明命题的等价性

P→（Q→R）真值表：

P        Q       R       Q→R     P→(Q→R)
F       F       F       T       T
F       F       T       T       T
F       T       F       F       T
F       T       T       T       T
T       F       F       T       T
T       F       T       T       T
T       T       F       F       F
T       T       T       T       T
P→（Q→R）成假赋值的有一个：TTF

若给定P1，P2…Pn任一组真值指派，命题A和B的真值都相同，称A和B是等值的，或等价的（A⇔B）。
由等价定义可知：¬P∨Q⇔P→Q

6、掌握基本的命题定律，在此基础上熟练进行命题等价交换

常用命题定律：

双重否定律：    A ⇔ ¬¬A
幂等律： A ⇔ A∧A，A ⇔ A∨A
结合律： (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C )(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C )
交换律： A∧B ⇔ B∧AA∨B ⇔ B∨A
分配律： A ∨ (B∧C) ⇔ (A∨B) ∧ (A∨C)A ∧ (B∨C) ⇔ (A∧B) ∨ (A∧C)
吸收律： A∨(A∧B ) ⇔ A，A∧(A∨B ) ⇔ A
德摩根律：    ¬(A∨B )  ⇔ ¬A∧¬B，¬(A ∧ B )  ⇔ ¬A ∨ ¬B
同一律： A ∨ F ⇔ A，A ∧ T ⇔  A
零律：  A ∨ T ⇔  T，A ∧ F ⇔ F
排中律： A ∨ ¬A ⇔  T
否定律： A ∧ ¬A ⇔  F
蕴涵等值式：   A → B ⇔ ¬A ∨ B
等价等值式：A ↔ B  ⇔ （A → B）∧（ B → A）
假言易位：A → B ⇔  ¬B → ¬A
等价否定等值式：A ↔ B ⇔ ¬ A ↔ ¬B
归谬论：（A → B）∧（ A → ¬B） ⇔  ¬A

等值演算： 由已知的等值式推演出另一些等值式的过程称为等值演算或等价变换，这是布尔代数和逻辑代数的重要组成部分。

7、掌握命题的基本蕴涵式，并能进行蕴涵式的证明

定理1、设A、B两个命题公式，A ⇔ B，当且仅当 A ↔ B 是一个重言式。
定义1、当且仅当 P → Q是一个重言式时，我们称“P蕴涵Q”，并记作P ⇒ Q。
P ⇒ Q称为P蕴涵Q或蕴涵式，亦称永真条件式。
蕴涵式有以下性质：

(1) 对任意公式A，有 A ⇒ A
(2) 对任意公式A、B、C，若 A ⇒ B，B ⇒ C，则 A ⇒ C
(3) 对任意公式A、B、C，若 A ⇒ B，A ⇒ C，则 A ⇒ (B ∧ C)
(4) 对任意公式A、B、C，若 A ⇒ C，B ⇒ C，则 A ∨ B ⇒ C

定理2、设A、B两个命题公式，A ⇔ B的充分必要条件是 A ⇒ B 且 B ⇒ A 。
有一些重要的重言蕴涵式，称为推理定律：

化简式:P∧Q⇒PP∧Q⇒Q
附加式:P⇒P∨QQ⇒P∨Q¬P⇒P→QQ⇒P→Q¬(P→Q)⇒P¬(P→Q)⇒¬Q
假言推论P ∧ ( P → Q ) ⇒ Q
*拒取式( P → Q ) ∧ ¬Q ⇒ ¬P
*析取三段论:¬Q∧(P∨Q)⇒P
*条件三段论：(P→Q)∧(Q→R)⇒P→R
*等价三段论：(P↔Q)∧(Q↔R)⇒P↔R
合取构造二难：(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)⇒Q∧S
析取构造二难：(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)⇒Q∨S
前后附件加：P→Q⇒R∨P→R∨Q    P→Q⇒R∧P→R∧Q

8、了解联结词完备集的概念

定义：设S是一个联结词集合，如果任何n （n>1）元真值函数都可以由仅含S的联结词构成的公式表示，则称S是联结词的完备集。

1. S={¬，∨ }
2. S={¬，∧}
3. S={¬，→}
4. S={ ↑ }     与非联结词：P ↑ Q ⇔ ¬(P ∧Q )
5. S={ ↓ } 或非联结词：P ↓ Q ⇔ ¬(P ∨Q )
6. S={¬，∧，∨，→，↔}
7. S={¬，∧，∨，→}