数学 {有界性定理,最值定理,零点定理,介值定理}

2024-05-11 06:57:42

`数学 {有界性定理,最值定理,零点定理,介值定理}`

{有界性定理, 最值定理}

定义

有界性定理;

( f ( x ) 在闭区间上连续 ) ⟹ ( f ( x ) 在该区间上有界 ) (f(x)在闭区间上连续) \implies (f(x)在该区间上有界) (f(x)在闭区间上连续)⟹(f(x)在该区间上有界);

@DELIMITER

最值定理 (也称极值定理);

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续 ⟹ \implies ⟹ ∃ x 0 , x 1 ∈ [ a , b ] \exist x_0,x_1 \in [a,b] ∃x0,x1∈[a,b], 使得函数在 x 0 x_0 x0取得最小值在 x 1 x_1 x1取得最大值;

性质

最值定理是强化了的有界性定理;
因为函数值域为 R \mathbb R R, 根据实数的完备性, 任意实数子集若有界, 则该子集里的最大/小值就是上/下确界;

{零点定理, 介值定理}

定义

零点定理;

若 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续且 f ( a ) ∗ f ( b ) < 0 f(a) * f(b) < 0 f(a)∗f(b)<0, 则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , [ f ( ξ ) = 0 ] \exist \xi \in (a,b), [f(\xi) = 0] ∃ξ∈(a,b),[f(ξ)=0];

@DELIMITER

介值定理;

若 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续且 f ( a ) = A , f ( b ) = B f(a)=A,f(b)=B f(a)=A,f(b)=B (不妨设 A ≤ B A\leq B A≤B, 对于 A > B A>B A>B情况也如此), 则 ∀ C ∈ ( A , B ) , ∃ ξ ∈ ( a , b ) , [ f ( ξ ) = C ] \forall C \in (A,B),\exist \xi \in (a,b), [f(\xi) = C] ∀C∈(A,B),∃ξ∈(a,b),[f(ξ)=C];

性质

零点定理是介值定理的一个特例;

介值定理直观的讲: 从 f ( a ) f(a) f(a)点开始画一条连续的曲线 到达 f ( b ) f(b) f(b), 且笔不会离开纸面;

@DELI;

介值定理的一个等价定义: 函数在 I = [ a , b ] I = [a,b] I=[a,b]上连续, 则区间 [ f ( a ) , f ( b ) ] ⊆ f ( I ) [f(a), f(b)] \subseteq f(I) [f(a),f(b)]⊆f(I);

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