初等数论四大定理之——费马小定理
皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat),1601年生于法国,是一个律师和业余数学家。他在数学多个分支上都有贡献,成就甚至超过了许多职业的数学家,被誉为“业余数学家之王”。在费马的所有成就当中,最被大家津津乐道的莫过于“费马大定理”了。
皮埃尔·德·费马(1601-1665)
这个定理本身并不是很重要,但由于其证明太过于困难,直到被提出来358年之后,才在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)所证明,因而被许多数学领域之外的人所熟知。不过,我们今天要谈的是费马小定理。这个定理对大家来说,可能就有点陌生了。实际上它是数论中的一个十分重要的定理,是初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理,中国剩余定理和费马小定理)之一。
在正式讨论费马小定理之前,我们先来了解一下同余的概念和它的几个基本性质。同余所描述的是两个整数的一种等价关系,如果两个整数a和b除以同一个整数p所得的余数相等,我们就说这两个整数模p同余。记作
同余的重要性体现在它保持了普通等式的许多性质。我们知道普通等式有以下性质:
恒有a = a
如果a = b, b - a = 0
如果a = b, b = c,那么a = c
如果a = a', b = b',那么a + b = a' + b'
同上,a - b = a' - b'
同上,ab = a'b'
相应的,同余有类似的性质:
恒有a ≡ a(mod p)
如果a ≡ b(mod p), b - a ≡ 0(mod p)
如果a ≡ b(mod p), b ≡ c(mod p),那么a ≡ c(mod p)
如果a ≡ a'(mod p), b ≡ b'(mod p),那么a + b ≡ a' + b'(mod p)
同上,a - b ≡ a' - b'(mod p)
同上,ab ≡ a'b'(mod p)
这几个性质的证明是十分容易的,因此不再赘述。
费马小定理正是在同余性质的基础上被发现的:如果p是任意一个不能整除整数a的素数,那么
这就是说a的(p - 1)次方除以p余1。例如:令p = 7, a = 10,可知p为素数且与a互素,那么根据费马小定理,有
即1000000除以7余数为1。经计算可知:
读者可以验证是否正确,也可以自行列举几个例子来体验一下这个神奇的定理。
我们知道,数学在各个领域的应用是人类社会发展的主要推动力量,但是它的真正魅力并不在于此,甚至可以说数学的发展并不是为了应用。因此,让我们来看看真正有价值的东西——费马小定理的证明。
在给定了素数p和与p互素的整数a之后,我们考虑如下p - 1个数:
显然,任意一个都不能被p整除。而且不难发现,这p - 1个数中任意两个除以p得到的余数都不相同。否则存在s和t(),使得,根据同余性质(2.),得出能被p整除,这显然是不可能的。
由于任何数除以p所得的余数必然等于中的一个,因此上述p - 1个数分别与模p同余。根据同余性质(6.)有:
再根据同余性质(2.)有:
p为素数,显然不整除,由此p整除,即:
到此,费马小定理得到证明。
此证明的过程虽然简单,但是需要对同余性质和整除性质的深刻理解,这可能是需要专门下一番功夫的地方。最后,我们将给出费马小定理有一个更加一般性的推论,它放开了p是素数的限制。
我们先定义一个关于正整数n的函数
例如:10以内与10互素的有4个:1、3、7、9,因此。有了这个函数之后,我们可以给出费马小定理的如下推论:如果n是任意一个与整数a互素的整数,那么
实际上,对于素数p有。由此可见,费马小定理是这个推论的一个特例。
此推论的证明过程与费马小定理的证明过程类似,只是涉及到一些额外的逻辑,我们在这里并没有给出。回复“费马小定理推论”,即可得到一份作者手写的关于推论的证明!
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