时间序列学习（6）：单整、协整、格兰杰检验

1、单整序列
2、协整关系
3、模型解释与协整检验
4、华泰柏瑞300与兴全300究竟能否搬砖？

前面的笔记里，我们都是在研究一个时间序列（不同时间段）中的关系及性质。

很显然，我们可以把方法推广到两个时间序列（相同时间段）的研究中去。这就是这篇要讲的协整关系。

1、单整序列

我们在第5篇笔记的第3节里对指数的对数收益率序列做了一次差分。实际我们可以在差分序列上再做差分。

当某一个不平稳的时间序列做了n次差分后第一次变成平稳序列了，那么我们就称这个时间序列为n阶单整。

根据重要统计量（之前介绍过的均值、方差、自相关系数）的可加性，我们有以下两个结论：

平稳序列的线性组合也是平稳的；
平稳序列和一阶单整序列的线性组合是一阶单整的；

那么问题来了，两个一阶单整序列的线性组合还是一阶单整的吗？答案是不一定。

2、协整关系

但是有一种情况我们可能用两个一阶单整的序列构造出平稳序列（平稳序列的一阶差分一定也是平稳的）。

对于两个走势很像的时间序列，比如，格力和美的的股价走势，它们的对数收益率序列可以看成股价序列的一阶差分。

从前面的笔记可以假设对数收益率序列是平稳的。所以格力和美的的股价走势可以说是一阶单整的。

因为格力和美的的股价走势强相关，那么可以想象它们股价的差值序列似乎应该是平稳的。如果是平稳的，我们就说格力和美的的股价走势序列具有协整关系（Cointegration）。

更为严格的定义如下。给定两个时间序列{xt}\{x_t\}{xt}和{yt}\{y_t\}{yt}，它们有如下的线性关系：

yt=αxt+β+residty_t=\alpha x_t+\beta+resid_tyt=αxt+β+residt

其中{residt}\{resid_t\}{residt}是残差序列。若，{xt}\{x_t\}{xt}和{yt}\{y_t\}{yt}是一阶单整的，且{residt}\{resid_t\}{residt}是平稳的，那么{xt}\{x_t\}{xt}和{yt}\{y_t\}{yt}具有协整关系。

描述协整关系的模型和AR模型很像，都是线性模型。区别在于AR模型描述的是一个序列的不同时间点的关系；协整模型描述的是两个序列的相同时间点的关系。

协整关系通常用在配对交易中，用来判断两个走势相近的标的价格差值序列是否平稳，进而判断这两个标的走势是否平稳。

在实际应用中，我们通常会对标的价格取对数，以减小量纲的影响。

3、模型解释与协整检验

我们针对两个序列寻找它们的协整关系，我们在它们之间建立了下面的关系：

yt=αxt+β+residty_t=\alpha x_t+\beta+resid_tyt=αxt+β+residt

由上式，我们已经假设这两个序列之间是线性关系。究竟具不具有线性关系，实际上需要验证的。所以当我们拟合出模型后，我们首先应该看看模型是否有不错的解释效果（实际上很多人都忽略了这一点）；然后我们再进行协整的检验。

验证线性模型的解释效果有很多指标，SSE（和方差）、MSE（均方误差）、RMSE（均方根误差）、MAE（平均绝对误差）、R-Squared（R平方检验，为R平方，修正R平方等）。

因为本篇笔记还是以协整为核心，所以上述方法不详述了。后面碰到实际问题再说。

那么协整性怎么检验呢？一般有两个方法，约翰森（Johansen）检验法与恩格尔-格兰杰（Engel-Granger）检验法。

约翰森（Johansen）检验法针对含有滞后项的情况，如下：

yt=α0xt+α1xt−1+...+β+residty_t=\alpha_0x_t+\alpha_1x_{t-1}+...+\beta+resid_tyt=α0xt+α1xt−1+...+β+residt

本篇笔记考虑更为简单的恩格尔-格兰杰（Engel-Granger）检验法。对于下述关系式进行两步检验：

yt=αxt+β+residty_t=\alpha x_t+\beta+resid_tyt=αxt+β+residt

第一步：基于OLS方法回归上述模型得到系数；
第二步：基于ADF方法检验序列{residt}\{resid_t\}{residt}是否平稳；若平稳，则{xt}\{x_t\}{xt}和{yt}\{y_t\}{yt}具有协整关系；否则，“存在协整关系”不成立。

4、华泰柏瑞300与兴全300究竟能否搬砖？

我们用上面的方法来研究两个时间序列：华泰柏瑞300与兴全300的净值序列。这两个序列都是跟踪沪深300的，因此我们会感性上觉得他们的走势应该强相关，所以很多人会用来做搬砖。那么我们看看它们究竟有没有这种强相关的关系，也就是协整关系。

首先，获取华泰柏瑞300（510300.XSHG）与兴全300（163407.XSHE）的2017年1月1日至2019年12月13日的净值序列，然后做对数处理。两者的走势如下：

p1 = get_price('510300.XSHG', start_date='2017-01-01', end_date='2019-12-13', frequency='daily', fields='close')
p2 = get_price('163407.XSHE', start_date='2017-01-01', end_date='2019-12-13', frequency='daily', fields='close')
ln_p1 = log(p1)
ln_p2 = log(p2)

看上去还挺一致。

下面我们构建它们净值之间的线性模型：

Y=αX+β+residY=\alpha X+\beta+residY=αX+β+resid

import statsmodels.api as smx = ln_p2
y = ln_p1
# 所构建模型若含常数项使用这一步，不含常数项就不含这一句
X = sm.add_constant(x)
result = (sm.OLS(y,X)).fit()

打印拟合结果看看：

红色框体中的R平方分析是模型对原始数据的解释度。0.7左右说明模型的解释性马马虎虎。

绿色框体是我们求得的两个参数：α=0.7082;β=0.8818\alpha=0.7082; \beta=0.8818α=0.7082;β=0.8818。

按照这两个参数可以画出拟合的线性曲线（其实是直线）：

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))ax.plot(x, y, 'o', label="data")
ax.plot(x, result.fittedvalues, 'r', label="OLS")
ax.legend(loc='best')

有了上面的具体参数，残差序列就得到了：

resid=Y−0.7082X−0.8818resid=Y-0.7082X-0.8818resid=Y−0.7082X−0.8818

我们进一步用ADF检验看看其平稳性：

from statsmodels.tsa.stattools import adfulleradfuller(resid.close)

结果如下：

(-1.5651429207395833,0.5010757745369381,5,713,{'1%': -3.43955476721974,'5%': -2.865602155751202,'10%': -2.5689331692727135},-4994.155385095142)

t-检验值没有显著小于10%的临界值，说明不能拒绝不平稳的假设。

在statsmodels中有更方便的判断两者是否协整的函数。

from statsmodels.tsa.stattools import cointcoint(x, y)

(-1.4004315479475968,0.7973652863497567,array([-3.9117583774179283, -3.3446531236567063, -3.0503622399733086]))

可以看到程序自带的函数进行的协整结果的t-检验值（-1.4004315479475968）也没有显著地小于array中的三个临界值，所以不能接受这两个序列平稳的结论。

我们看看残差序列：

从残差序列也可以大概看出其不平稳性。

因此，利用华泰柏瑞300与兴全300搬砖的小伙伴可要小心，要反复确认它们在所考察的时间段内是否协整，且是否这种协整关系可延续。

另外，我们在建模的时候加入了常数项，也可以将常数项去掉看看建模效果。