听同学百度二面中，不准用四则运算操作符来实现四则运算。一想就想到了计算机组成原理上学过的。位运算的思想可以应用到很多地方，这里简单的总结一下用位运算来实现整数的四则运算。

加法运算：

[cpp] view plaincopy
  1. int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)
  2. {
  3. if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算
  4. int sum,carry;
  5. sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算
  6. carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算
  7. return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加
  8. }

简化一下：

[cpp] view plaincopy
  1. int Add(int a,int b)
  2. {
  3. return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;
  4. /*if(b)
  5. return Add(a^b,(a&b)<<1);
  6. else
  7. return a;*/
  8. }

上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。

非递归的版本如下：

[cpp] view plaincopy
  1. int Add(int a, int b)
  2. {
  3. int ans;
  4. while(b)
  5. {   //直到没有进位
  6. ans = a^b;        //不带进位加法
  7. b = ((a&b)<<1);   //进位
  8. a = ans;
  9. }
  10. return a;
  11. }

减法运算：

[cpp] view plaincopy
  1. //这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
  2. int negtive(int a)   //取补码
  3. {
  4. return Add(~a, 1);
  5. }
  6. int Sub(int a, int b)
  7. {
  8. return Add(a, negtive(b));
  9. }

正数乘法运算：

[cpp] view plaincopy
  1. //正数乘法运算
  2. int Pos_Multiply(int a,int b)
  3. {
  4. int ans = 0;
  5. while(b)
  6. {
  7. if(b&1)
  8. ans = Add(ans, a);
  9. a = (a<<1);
  10. b = (b>>1);
  11. }
  12. return ans;
  13. }

整数除法（正整数）

[cpp] view plaincopy
  1. //除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
  2. int Pos_Div(int x,int y)
  3. {
  4. int ans=0;
  5. for(int i=31;i>=0;i--)
  6. {
  7. //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出
  8. if((x>>i)>=y)
  9. {
  10. ans+=(1<<i);
  11. x-=(y<<i);
  12. }
  13. }
  14. return ans;
  15. }

完整的实现：

[cpp] view plaincopy
  1. // 加减乘除位运算
  2. // 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现
  3. // 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法
  4. // 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释
  5. #include<iostream>
  6. #include<cstdio>
  7. using namespace std;
  8. int Add(int a, int b)
  9. {
  10. int ans;
  11. while(b)
  12. {  //直到没有进位
  13. ans = a^b;        //不带进位加法
  14. b = ((a&b)<<1);   //进位
  15. a = ans;
  16. }
  17. return a;
  18. }
  19. //这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
  20. int negtive(int a)   //取补码
  21. {
  22. return Add(~a, 1);
  23. }
  24. int Sub(int a, int b)
  25. {
  26. return Add(a, negtive(b));
  27. }
  28. // 判断正负
  29. int ispos( int a )
  30. { //正
  31. return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);
  32. }
  33. int isneg( int a )
  34. { //负
  35. return a&0x8000;
  36. }
  37. int iszero( int a )
  38. { //0
  39. return !(a&0xFFFF);
  40. }
  41. //正数乘法运算
  42. int Pos_Multiply(int a,int b)
  43. {
  44. int ans = 0;
  45. while(b)
  46. {
  47. if(b&1)
  48. ans = Add(ans, a);
  49. a = (a<<1);
  50. b = (b>>1);
  51. }
  52. return ans;
  53. }
  54. //乘法运算
  55. int Multiply(int a,int b)
  56. {
  57. if( iszero(a) || iszero(b) )
  58. return 0;
  59. if( ispos(a) && ispos(b) )
  60. return Pos_Multiply(a, b);
  61. if( isneg(a) )
  62. {
  63. if( isneg(b) )
  64. {
  65. return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );
  66. }
  67. return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );
  68. }
  69. return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );
  70. }
  71. //除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
  72. int Pos_Div(int x,int y)
  73. {
  74. int ans=0;
  75. for(int i=31;i>=0;i--)
  76. {
  77. //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出
  78. if((x>>i)>=y)
  79. {
  80. ans+=(1<<i);
  81. x-=(y<<i);
  82. }
  83. }
  84. return ans;
  85. }
  86. //除法运算
  87. int MyDiv( int a, int b )
  88. {
  89. if( iszero(b) )
  90. {
  91. cout << "Error" << endl;
  92. exit(1);
  93. }
  94. if( iszero(a) )
  95. return 0;
  96. if( ispos(a) )
  97. {
  98. if( ispos(b) )
  99. return Pos_Div(a, b);
  100. return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );
  101. }
  102. if( ispos(b) )
  103. return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );
  104. return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );
  105. }
  106. // 比较两个正数的大小（非负也可）
  107. int isbig_pos( int a, int b )
  108. {  //a>b>0
  109. int c = 1;
  110. b = (a^b);
  111. if( iszero(b) )
  112. return 0;
  113. while( b >>= 1 )
  114. {
  115. c <<= 1;
  116. }
  117. return (c&a);
  118. }
  119. // 比较两个数的大小
  120. int isbig( int a, int b )
  121. { //a>b
  122. if( isneg(a) )
  123. {
  124. if( isneg(b) )
  125. {
  126. return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );
  127. }
  128. return 0;
  129. }
  130. if( isneg(b) )
  131. return 1;
  132. return isbig_pos(a, b);
  133. }

扩展：在不使用*、/、+、-、%操作符的情况下，如何求一个数的1/3？（用C语言实现）
使用位操作符并实现“+”操作

[cpp] view plaincopy
  1. // 替换加法运算符
  2. int add(int x , int y)
  3. {
  4. int res;
  5. while(y)       // 直到没有进位
  6. {
  7. res = x^y;       // 不带进位的加法
  8. y = ((x&y)<<1);  // 进位
  9. x = res;
  10. }
  11. return x;
  12. }
  13. int divideby3(int num)
  14. {
  15. int sum = 0;
  16. while(num > 3)
  17. {
  18. sum = add(num>>2 , sum);
  19. num = add(num>>2 , num&3);
  20. }
  21. if(num == 3)
  22. sum = add(sum , 1);
  23. return sum;
  24. }

原理：n = 4 * a + b; n / 3 = a + (a + b) / 3; 然后 sum += a, n = a + b 并迭代; 当 a == 0 (n < 4)时，sum += floor(n / 3); i.e. 1, if n == 3, else 0

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