数据在计算机内存中是以二进制存储的。 
几种常用的位运算：

• 与运算&： 对应位均为1时为1，其它为0。
• 或运算|： 对应位均为0时为0，其它为1。
• 异或运算^： 对应位不相同时为1，相同时为0.
• 按位取反~： 每一位取反
• 右移>>: 将二进制进行右移，低位丢掉，高位补零。
• 左移<<： 将二进制进行左移，低位补零，高位丢掉。

加法

以0111 + 0101为例，观察异或运算和与运算的结果

0111 ^ 0101 = 0010; //结果的每一位等于对应位相加模二，刚好是不带进位的加法结果。
0111 & 0101 = 0101; //结果的1表示对应位相加为2，0表示对应位相加小于二，刚好是进位标识。

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又因为进位是向高位进位，也就是说如果第二位是1，则表示在计算过程中要向第三位进位，所以可以将与运算结果左移一位后和异或运算的结果做加法。 
代码如下：

int add(int a, int b)
{
    return (b == 0) ? a : add(a ^ b, (a & b) << 1);/*if(b == 0)return a;elsereturn add(a ^ b, (a & b) << 1);//异或结果 + 与运算结果左移一位*/
}

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减法

减法和加法相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。 
求相反数的方法：每一位取反，末位加一。 
代码如下：

//求n的相反数
//~：按位取反
//add：加法操作，末位加一
int negtive(int n)
{return add(~n, 1);
}int subtraction(int a, int b)
{//加上被减数的相反数return add(a, negtive(b));
}

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乘法

平时在笔算乘法数据都是十进制的，而抛去思维定势，把数看成是二进制，也可以进行笔算乘法，像这样 

根据算式可以知道，对于a * b，每次只需要将a左移一位乘上b的对应位，然后同上一次的结果做加法即可。 
也就意味着当b的对应位为1时，对a左移一位然后同上一次的结果做加法。 
如果b的对应位为0，只对a左移一位。 
当然，上述这些运算不包括符号位，所以两个操作数都需要先转换成正数，符号需要单独考虑。对于4个字节（32位整数）来说，获取符号位只需要取出第31位的值即可。

代码如下：

//取出符号位
int getSign(int n)
{return n >> 31;
}//求n的绝对值
int positive(int n)
{return (getSign(n) & 1) ? negtive(n) : n;
}int multiply(int a, int b)
{//如果两个数符号位不相容，则结果为负bool isNegtive = false;if(getSign(a) ^ getSign(b))isNegtive = true;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while(b | 0){//当b的对应位是1时，才需要加aif(b & 1)res = add(res, a);a = a << 1; //a左移b = b >> 1; //b右移}return isNegtive == true ? negtive(res) : res;
}

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除法

同乘法一样，除法也可以进行二进制笔算，以a / b为例，只有当a >= b时才可以上商，又因为是二进制，所以商每次只会多1，在每次上1之后a都要减去一次b。代码如下：

int divide(int a, int b)
{//被除数不能为0if(b == 0)throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");bool isNegtive = false;if(getSign(a) ^ getSign(b))isNegtive = true;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while(a >= b){res = add(res, 1);a = subtraction(a, b);}return beNegtive == true ? negtive(res) : res;
}