机器数和机器数的真值

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。举个例子，比如在机器字长为8位的情况下（机器字长是指计算机直接处理的二进制数据的位数，它决定了计算机的运算精度，一般是8的整数倍，8位、16位、32位、64位、128位），十进制中的+3，转换成二进制就是0000 0011，如果是-3，转换成二进制就是1000 0011。转换的二进制数0000 0011和1000 0011就是机器数。

这里我们还需要知道的就是机器数的真值，由于机器数的第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数1000 0011，其最高位1代表负，其真正数值是-3，而不是形式值131（1000 0011转换成十进制等于131），所以，为了区别起见，将带符号的机器数对应的真正数值成为机器数的真值。比如0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码、反码和补码的基础概念和计算方法

上面我们了解了机器数，也就是二进制数，不过计算机要使用一定的编码方法进行储存，原码、反码和补码就是机器存储一个具体数字的编码方式。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如：如果8位二进制：

[+1]原= 0000 0001

[-1]原= 1000 0001

第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）[1111 1111 , 0111 1111]，也就是十进制的[-127 , 127]（小声哔哔，其实可以说成原码是带符号的机器数）

反码

正数的反码就是其本身，负数的反码是其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反

补码

补码的表示方法是，正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（也就是在其反码的基础上+1）

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补

知道了这三个基本概念之后，值得一提的是，如果用反码相加，会产生两个零的问题（-0和+0），所以我们使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型，可以表示范围是: [-2^31, 2 ^ 31-1] 因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

位运算基本操作

加法

不考虑进位的按位求和, 异或
只考虑进位，只有(1,1)才会产生进位，使用按位与可以满足要求。当前位产生进位，要参与高一位的运算，因此按位与后要向左移动一位。
递归求和，直到进位为0

int add(int a,int b) {int carry,add;do{add = a^b;carry = (a&b)<<1;a = add;b=carry;}while(carry!=0);return add;
}

减法

我们知道了位运算实现加法运算，那减法运算就相对简单一些了。我们实现了加法运算，自然的，我们会想到把减法运算11 - 6变形为加法运算11 + (-6)，即一个正数加上一个负数。是的，很聪明，其实我们的计算机也是这样操作的，那有的人会说为什么计算机不也像加法器一样实现一个减法器呢？对的，这样想当然是合理的，但是考虑到减法比加法来的复杂，实现起来比较困难。为什么呢？我们知道加法运算其实只有两个操作，加、进位，而减法呢，减法会有借位操作，如果当前位不够减那就从高位借位来做减法，这里就会问题了，借位怎么表示呢？加法运算中，进位通过与运算并左移一位实现，而借位就真的不好表示了。所以我们自然的想到将减法运算转变成加法运算。怎么实现呢？

刚刚我们说了减法运算可转变成一个正数加上一个负数，那首先就要来看看负数在计算机中是怎么表示的。

+8在计算机中表示为二进制的1000，那-8怎么表示呢？很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。这只是直观的表示方法，其实计算机是通过2的补码来表示负数的，那什么是2的补码（同补码，英文是2’s complement，其实应该翻译为2的补码）呢？它是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，求取步骤：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0（即反码）。

第二步，将上一步得到的值（反码）加1。

简单来说就是取反加一！先转换为加法: a-
b = a+(-b) = a+(~b+1)

int subtraction(int a,int b){return add(a,add(~b,1));
}

乘法

 //a 被乘数，b 乘数int multiplication(int a,int b){int i = 0;int res = 0;//乘数不为0while (b != 0){//处理当前位//当前位是1if ((b & 1) == 1){res += (a << i);b = b >> 1;//记录当前是第几位i++;}else {//当前位是0b = b >> 1;i++;}}return res;}

除法

考虑我们现实生活中手动求乘积的过程，这种方式同样适用于二进制，下面我以13*14为例，向大家演示如何用手动计算的方式求乘数和被乘数绝对值的乘积。

从上图的计算过程可以看出，如果乘数当前位为1，则取被乘数左移一位的结果加到最终结果中；如果当前位为0，则取0加到乘积中（加0也就是什么也不做）

(1) 判断乘数是否为0，为0跳转至步骤(4)
(2) 将乘数与1作与运算，确定末尾位为1还是为0，如果为1，则相加数为当前被乘数；如果为0，则相加数为0；将相加数加到最终结果中；
(3) 被乘数左移一位，乘数右移一位；回到步骤(1)
(4) 确定符号位，输出结果；

 //a 被乘数，b 乘数int multiplication(int a,int b){int i = 0;int res = 0;//乘数不为0while (b != 0){//处理当前位//当前位是1if ((b & 1) == 1){res += (a << i);b = b >> 1;//记录当前是第几位i++;}else {//当前位是0b = b >> 1;i++;}}return res;}

参考链接

彻底搞清楚Java的位运算（位实现加减乘除）: 彻底搞清楚Java的位运算（位实现加减乘除）.

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Java 实现位运算计算加减乘除

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