非线性系统【三】LaSalle不变原理

2024-05-11 15:15:10

非线性系统【三】LaSalle不变原理

引理4.1

如果方程x˙=f(x)\dot{x}=f(x)x˙=f(x)的解x(t)x(t)x(t)有界，且当t≥0t\ge0t≥0时属于DDD,那么其正极限集L+L^+L+是非空不变紧集，且当t→∞t\rightarrow \infint→∞时，x(t)x(t)x(t)趋近于L+L^+L+

定理4.4 LaSalle定理

设Ω⊂D\Omega\subset DΩ⊂D是方程的一个正不变紧集。设V:D→RV:D\rightarrow RV:D→R是连续可微函数，在Ω\OmegaΩ内满足V˙(x)≤0\dot{V}(x)\le0V˙(x)≤0设EEE是Ω\OmegaΩ内所有点的集合，满足V˙(x)=0\dot{V}(x)=0V˙(x)=0,MMM是EEE内的最大不变集。那么当t→∞t\rightarrow \infint→∞时，始于Ω\OmegaΩ内的每个解都趋近于MMM。

推论4.1

设x=0x=0x=0是方程的一个平衡点，V:D→RV:D\rightarrow RV:D→R是D上连续可微的正定函数，D包含原点x=0x=0x=0，且在DDD内满足V˙(x)≤0\dot{V}(x)\le0V˙(x)≤0。设S={x∈D∣V˙(x)=0}S=\{x\in D|\dot{V}(x)=0 \}S={x∈D∣V˙(x)=0}。并假设除平凡解x≡0x\equiv0x≡0之外没有其他解同样保持在DDD内，那么原点是渐进稳定的。A.S.

推论4.2

设x=0x=0x=0是方程的一个平衡点，V:D→RV:D\rightarrow RV:D→R是D上连续可微且径向无界的正定函数，对于所有的x∈Rnx\in R^nx∈Rn有V˙(x)≤0\dot{V}(x)\le0V˙(x)≤0。设S={X∈Rn∣V˙(x)=0}S=\{X\in R^n|\dot{V}(x)=0 \}S={X∈Rn∣V˙(x)=0}。并假设除平凡解x≡0x\equiv0x≡0之外没有其他解同样保持在DDD内，那么原点是全局渐进稳定的。G.A.S.

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