《线性代数》学习之———第一章矩阵与方程组（1.1线性方程组）

写在最前

学习线性代数这一门课已经两章了，目前为止实话实说收获甚少，充斥内心的不是畏难情绪，也不是对于老师或这门学课的抱怨，而是真真正正的发自内心的疑惑，这种疑惑起初我以为是学校的教材带给我的，于是我换了同济大学的《工程数学—线性代数》但是效果也只是巩固了我对公式的掌握，以及解题思路的帮助。

目前所在的大学应该算相当不错的大学，学风也是不错，所以觉得自己应该探索的去解决这一问题，因为线性代数在自己的兴趣方向（机器学习）有很大的作用，更是给我以动力去 “深入理解” 线性代数，同时记录下自己的学习路径，供大家学习参考。
关于线性代数教材的问题，网上有很多的讨论，其中一个虽然有些广告的嫌疑，但是写的比较中肯，分享出来：【无法理解线性代数怎么办？】

切入正题------>

1.1线性方程组

1.1.1线性方程组与解线性方程组

矩阵最早是用于解线性方程组的，所以私以为入门矩阵最合适的就是线性方程组。
关于线性方程组，维基的解释是
线性方程组是数学方程组的一种，它符合以下的形式：

所以，这个线性方程组的每一行都是一个线性方程。

首先是关于解的说明：
由于矩阵的最初应用就是来求解这个线性方程的，所以提到矩阵之前需要看看线性方程组的解的情况。这一部分(steven J.Leon的《线性代数》解释还可以)
这里不详细说明，要说的是解分为三种情况：

一个解（或者一组解）。

一个解集。

无解（不相容：若线性方程组无解，则称方程组是不相容的）。

从几何角度说明解的情况（以二维举例，更高维可以类推）

一个解：对应两直线相交，有一个点的情况
无解：对应两直线平行的情况

看图：

关于求解：
任何有一组单独解的线性方程组都可以转换为我们称之为“严格三角形方程组”的形式：

然后通过逐层带入已知的x的方式即可求解方程组。这样的方式称为（回代）

接下来是概念，个人觉得，基本懂得这些概念的最大好处其实是帮助后面学习的过程中能够在理解上少走弯路。

1.1.2 等价方程组

等价方程组（定义）：若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称他们是等价的（equivalent）
经过思考，我们发现，针对线性方程组的三种运算可以得到等价方程组，他们分别是：

任意交换两线线性方程的位置
等式两边同乘相同的倍数
线性方程两边同乘一个倍数加到另外一个方程上

这个概念对于后面矩阵的求解非常重要。

1.1.3 系数矩阵与增广矩阵

首先我们通俗的解释矩阵：矩阵就是一个矩形的数字阵列,m行n列就被称为mxn矩阵，若m=n则被称为特殊的矩阵（方阵）

接下来是系数矩阵，同样通俗的解释：字面意思，在一个线性方程组中等式左边的所有系数，以其所在的位置，去掉未知数x就是系数矩阵，同时补全系数为0的情况。

增广矩阵（augmented matrix翻译这个词的人也是NB，可以看看花边）： 系数矩阵的最右侧加上线性方程组的等式右边的值就是增广矩阵

他们的分别形式是这样的：

这里，我们记的矩阵是要用来解线性方程组的，所以我们接下来需要做的就是通过"初等行运算"将该矩阵（增广矩阵）转化为“三角形方程组”然后求解就完事儿了。
如果第一行，也就是X1系数为0，就再找一个X1系数不为0的行跟它换一下行位置就可以继续转换为严格三角形方程组了。

不过，要注意的是，在转换过程中若在任何一步所有可能选择的X1系数都为0，此时该过程就应该在这一步停止，如果发生这样的情况，应该考虑将方程组转换为某种特殊的梯形或阶梯型。（以后会说~~~）

好了，江湖路远，有缘再见！

等等一下！！！