常微分方程第三版_常微分方程：（第六章）非线性微分方程：5节

参考《常微分方程》第三版（王高雄）

《非线性动力学与混沌》第二版

第1、2节：juliar：常微分方程：（第六章）非线性微分方程：1、2节

第3节：juliar：常微分方程：（第六章）非线性微分方程：3节

第4节：juliar：常微分方程：（第六章）非线性微分方程：4节

讨论了单参数一维和二维微分方程的分支，分析Lorenz方程在相空间中的轨线性态，从而引出奇异吸引子和混沌现象。——6.5

6.5 分支与混沌

6.5.1 常微分方程单参数分支

考虑含参数的常微分方程

其中

为参数（最普通的参数是方程的系数作为参数）。

微分方程的分支（分叉）：对含参数的微分方程，当参数变化时方程的解特别是平衡解的个数和性态是否发生变化，即方程是否结构稳定。相对于某参数值

方程（6.55）不是结构稳定时称此方程为

分支方程，对应的参数值

称为

分支值。

分支：随着某一参数的变化，如果相图的拓扑结构发生改变，我们就说发生了分支。《非线性动力学与混沌》

首先回顾：如何判断非线性系统在每个平衡点处的稳定性，可参考方法有：1.在平衡点线性化以后用线性系统理论判断，2.定义李雅普诺夫函数，在平衡点附近的领域内判断，3.求该非线性的雅克比矩阵，然后代入平衡点，得到其线性化了的矩阵。再看这个矩阵的特征值。

这里，我们主要讨论单参数（m=1（6.55中的m））分支。若有

，则称

为

系统的平衡解。

对于单参数的一维常微分方程

可表示成

和

的多项式形式，有

等组合：考虑以下几种典型的分支类型：

（1）鞍结点分支

分析：

当

时，没有平衡点；

当

时，有平衡点

，且

, 平衡点

稳定。

当

时，有平衡点

，且

,故平衡点

稳定，而

，故平衡点

不稳定。

在

参数平面上，平衡点为一条抛物线，（如图）其上支（连同原点）上的点是稳定的，下支上的点是不稳定的。

原点是分支点：

从

变到

时系统的平衡点从

一个稳定一个不稳定变为一个半稳定再变为不存在，

为分支点，称为

鞍结点分支点。

（2）跨临界分支

分析：令

，得到方程的两个平衡点为

。

当

时，

，故平衡点

稳定，

，故平衡点

不稳定；

当

时，两个平衡点均为

，且稳定。

当

时，

，故平衡点

不稳定，

，故平衡点

稳定；

在

参数平面上，平衡点为一条直线，（如图）其第一象限（连同原点）上的点是稳定的，第三象限上的点是不稳定的。

原点是分支点：

时系统有

一个稳定和一个不稳定的两个平衡点，

时系统有一个

半稳定平衡点（原点），因此

为分支点，称为

跨临界分支点。

（3）叉式分支

分析：

当

时，方程只有一个平衡点

，且

，稳定

当

时，令

，得到方程的三个平衡点为

和

，

，故平衡点

不稳定，

故平衡点

稳定；

故平衡点

稳定；

在

参数平面上，平衡点为一条抛物线，（如图）整个抛物线上的点在

时都是稳定的。

原点是分支点：

时系统有

两个稳定和一个不稳定的三个平衡点，

时系统有一个

稳定平衡点（原点），因此

为分支点，称为

叉式分支点。

（4）复合分支

当

时有一个稳定平衡点；

时有一个稳定和一个不稳定的两个平衡点，而

时有两个稳定和一个不稳定的三个平衡点，因此

是分支点，称为复合分支点。

——————————————————————————————————————

以上是针对一维微分方程，对于平面微分方程，除平衡点分支（局部分支）外，还有大范围分支（包括极限环、同宿环、异宿环），下面对单参数二维微分方程的分支情况举几个典型例子。（p311）

1.平面鞍结点分支

其中方程组中第一个方程与一维鞍结点分支的方程类型相同。

2.Hopf分支：由于参数的变化而跳出极限环的分支

其中化解后的方程组中第一个方程与一维叉式分支的方程类型相同。

3.同宿分支

以下两种暂不用上面分析的方法来做，等日后再补充。

同宿分支（鞍-环）：极限环部分与鞍点离得越来越近。在分支处，环与鞍点相交变成一个同宿轨。《非线性动力学与混沌》

4.异宿分支（p313）

——————————————————————————————————————

分支方程、

开折（unfolding）、普适开折、余维数的定义：

对带参数的方程组

当

时相应的系统为

分支方程

若（6.56）是不稳定的，则称（6.55）是一个分支方程。

开折（unfolding）、普适开折、余维数

当

时，系统（6.55）称为（6.56）的一个

开折

（unfolding）。如果所选的参数包括了方程（6.55）可能出现的各种拓扑结构，则称这个开折为普适开折。普适开折中对应参数最少的个数称为余维数。

对分支问题的研究可简化为对余维数的分支方程的研究，并通过特殊变换化为一种称为规范化的标准形式进行讨论。
转化：分支问题—>余维数的分支方程—>规范化的标准形式

关于开折、普适开折、余维数的应用，可参考p314的例5.

由一维微分方程判断余维数、普适开折的取法定理：

6.5.2 Lorenz方程与混沌

前面讨论的多是一维、二维驻定微分方程组，仅有奇点、极限环、同宿轨、异宿轨等几种特殊轨线。

对于三维及以上的驻定微分方程组，或二维及以上的非驻定微分方程组，轨线可能出现非常复杂的性态。Lorenz方程便是其中一个典型模型。

Lorenz方程：

不变集：参考

Chenglin Li：非线性系统（十二）相关的基本概念zhuanlan.zhihu.com

对于Lorenz方程轨线的性态可参考p317-320.

奇异吸引子：Lorenz方程出现的这种轨线的极限集是在一有限区内的吸引集，但它与通常了解的吸引集不同，既不是平衡点也不是极限环或周期变化的点集.我们称这种吸引集为奇异吸引子（奇怪吸引子），奇异吸引子还有对初值敏感的特性.

混沌：存在奇异吸引子这种复杂现象又称为混沌，混沌也可简单解释为对初值的敏感性，初值的细微差异引起后续的巨大不同，无法预测。

2020.11.26