微积分(二)——曲线积分与曲面积分笔记
文章目录
- 前言
- 曲线积分
- 对弧长的线积分
- 对坐标的线积分
- 直接参数方程法
- 格林公式
- 线积分证明题
- 空间中的线积分
- 曲面积分
- 对面积的面积分
- 对坐标的面积分
- 曲面积分证明题
- 积分应用题
- 多元积分应用题
- 多说几句
前言
本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。
如有缺漏错误,欢迎补充指正!
最近更新时间:
2020.07.13 添加曲面积分内容
2020.07.15 添加多元积分应用题内容
2020.07.17 曲线积分与曲面积分奇点问题
曲线积分
将题目分为四类,
- 对弧长的线积分
- 对坐标的线积分
- 曲线积分证明题
- 空间中的线积分
对弧长的线积分
根据第一类线积分的定义,是各小弧段长度的最大值趋近于0时与函数f(xi,yi)乘积的和的极限,其中xi,yi是各小弧段中的任意一点。
长度是一个标量,所以第一类线积分与积分路径无关。可以想象为求不均匀密度曲线型构件的质量。
计算
- 参数方程
- 直角坐标系
- 极坐标方程
- 奇偶性和对称性
前三种计算方法要根据题目的具体情况而定,计算量差别不大。当遇见像双纽线这种高次方程时,前两种方法计算量很大,极坐标方程有解题优势,应考虑用极坐标方程。
奇偶性和对称性对直角坐标系作用最明显也最常用,因为两个变量如果能消去一个计算量大减。参数方程和极坐标方程也需考虑。
对坐标的线积分
以平面为例,第二类线积分的定义就已经定义了P(x,y)和Q(x,y)两个对应x轴和y轴的函数。当各小弧段的最大值趋于0时,将弧段视为有向弧段,且弧段可以近似用有向曲线元Δr = dxi + dyj代替,计算P(xi,yi)对dxi和的极限,为有向曲线段对坐标x的曲线积分,计算Q(xi,yi)对dyi和的极限,为有向曲线段对坐标y的曲线积分。
第二类线积分积分路径的方向有关,可以想象为平面上的变力做功,将变力分解为沿x轴和y轴的两个分力。从点A到点B和从点B到点A的做的功互为相反数。
计算
- 直接参数方程法
- 格林公式
直接参数方程法
直接参数方程法虽然通用,但是很少用,要掌握有这个方法。
格林公式
线积分绝大部分题都离不开格林公式,格林公式十分优美,证明方法也熟悉,但还是没能直观理解。
以下为使用格林公式解题的基本思路。
基本思路:
线积分证明题
只要是证明题,就具有综合性。下面是一部分出题的角度,可以作为思考方向的辅助。
出题角度:
- 给出一些与线积分计算有关的条件,结合综合知识点(微分方程、基本不等式、三角函数、极限)等进行证明。
- 给出一些与线积分计算有关的条件,利用画出的辅助积分区域进行证明。
- 第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系,外法线方向余弦和切向量方向余弦的关系。
空间中的线积分
到了三维角度,直接参数法就变得有用了起来,格林公式不再适用,需使用斯托克斯公式。但因为三维是二维的延伸,考查对线积分的掌握无需扩展到三维,且三维计算量大。三维的部分目前阶段只需做了解,掌握直接参数法。
曲面积分
主要分为以下三个部分
- 对面积的曲面积分
- 对坐标的曲面积分
- 曲面积分证明题
与线积分相比,面积分的证明题更加局限。我感觉本章的难点还是在格林公式综合应用那一部分。
对面积的面积分
第一类曲面积分的定义可直接类比第一类曲线积分
根据第一类曲面积分的定义,是各小曲面直径的最大值趋近于0时,各小曲面的面积与函数f(xi,yi,zi)乘积的和的极限,其中xi,yi,zi是各小弧段中的任意一点。
面积是一个标量,所以第一类面积分与曲面的侧的选取无关。可以想象为求不均匀密度曲面构件的质量。
计算
- 直角坐标系
- 奇偶性和对称性
- 形心公式
相比与曲线积分少了参数方程和球坐标系,应该是不易计算。
直角坐标系
在使用直接坐标系中要注意dS面积微元的多样性以及投影域D的选择。
比如在圆柱侧曲面中,可取环状曲线做面积微元。
在积分曲线中没有z变量,比如柱面x^2 + y^2 = 9中,便不能投影到xOy面,尝试投影到xOz或yOz面。
奇偶性
对称性是根据面对称来定义的,比如关于xOy面对称,观察被积函数中z的奇偶性。
如果积分曲面∑方程中两个变量对调其方程不变,则将被积函数中这两个变量对调积分值不变。
曲面积分同样可以关于比如x=a形式对称,意义为关于平面x=a对称,那么被积函数为x-a时,积分为0,简化计算。
形心公式
形心公式不仅适用于二重与三重积分,同时还适用于曲线和曲面积分。公式与重积分相似。
对坐标的面积分
对坐标的面积分仍然可以和对坐标的线积分类比。
有向弧段 >>>> 有向曲面块
对x,y坐标的曲线积分(曲线投影) >>>> 对xOy、yOz、xOz面的曲面积分(曲面投影)
有向曲线元Δr = dxi + dyj >>>> 有向面积元ΔS = dydzi + dzdxj + dxdyk
对坐标的面积分定义了P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)这三个对应yOz、xOz,xOy面投影的函数。当各小曲面块的直径最大值趋于0时,将曲面块视为有向曲面块,且曲面段可以近似用有向曲面积元代替,分别计算各被积函数对应的坐标面和的极限,便为对曲面的第二类积分。
第二类面积分与积分面的侧有关,可以想象为在湍流中的渔网,假设湍流中的液体是不可压缩流体。从渔网进去的流量和从从渔网出去的流量应视为相反。
计算
- 分别计算(直接计算)
- 高斯公式
直接计算
由于写出曲面的参数方程不易,第二类曲面积分直接对各投影面分别计算,将曲面积分转为二重积分计算。
高斯公式
当空间闭区域由分片光滑的曲面围城,且各被积函数有一阶连续偏导数时,闭曲面取外侧,则可以利用高斯公式。
同样的,可以补曲面利用高斯公式,再将补的曲面减回来。
曲面积分证明题
只见过一种,即第一类面积分与第二类面积分的转化。涉及外法线向量。
积分应用题
多元积分应用题
多元积分应用题,大致分为两类
- 单纯求物理量的应用题,包括质心、转动惯量、变力做功、通量、质量,几何度量等。质心和转动惯量的公式要记得。
- 需要分析问题的应用题,这种题更像是物理题,也更难一些。比如经典的雪堆融化题目,需要求出雪堆的体积和侧面积两个物理量,并且列出微分方程。解题的时候要注意可能求解的布置一个物理量,坐标系可能要自己建立,如果有局限的点,注意点在坐标系中选取的位置尽量简便。
多说几句
写写我错了几次的地方
- “截”出 与 “围”成
- 重积分与线面积分
- 曲线积分与曲面积分的奇点问题
第一点,记得有道题,说是圆柱面x^2 + y^2 = 4被平面x + z = 2和z = 0所截出部分的外侧,我寻思这是个封闭图形啊。便用了高斯公式,一看答案说是不封闭图形,我画了好久也没看出哪不封闭了。我觉得可能是我想错了,便花了半个多小时找到了一个3D函数绘制网页验证,果然是封闭的。我没办法只能接着看答案,发现它只算了侧面的部分,平面没有算。当时我打心底感叹(bb)how you made 中国话。
第二点,曲线和曲面积分,积分域是可以等式成立的,比如x^2 + y^2 +z^2 = 1,若计算曲面积分,且被积函数有x^2 + y^2 +z^2 项,可以将1直接带入,简化计算。而重积分不可以,因为重积分是x^2 + y^2 +z^2 <= 1,不等关系。在计算中我们用格林公式或高斯公式,转来转去时,一定要搞清楚现在算的积分是重积分还是曲线面积分,不要混淆了。
第三点,在判断奇点的时候一定要把能替换成常数的式子都替换出来。比如有个题的题意大概是求两问,第一问是求上半球面的外侧,第二问是求上半椭圆面的外侧。被积函数在原点处不连续。我先入为主认定它不连续,即第一问和第二问都有奇点。补面补的很麻烦。但实际是第一问的分母可以直接提出去,之后就含有一阶偏导数补了平面就好了。
那个超好用的3D绘图网站叫做GeoGebra。
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