笔记--希尔伯特空间

希尔伯特空间
希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是泛函分析的重要组成部分。
设H是一个实的线性空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：
①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个内积，而H称为内积空间。
如果定义，则在‖0‖下，H构成一个线性赋范空间。
完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间的概念还可以推广到复线性空间上。
欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例，希尔伯特空间的另一个最重要的特例是L(G)，设G是n维欧几里德空间中的一个有界闭域，定义在G上的满足⨜G|f(x)|dx<+∞的勒具格可测函数全体记为L(G)，在L2(G)中引入内积(f，g)=⨜Gf (x)g(x)dx，则L(G) 是一个希尔伯特空间，L(G)是实用中最重要和最常用的希尔伯特空间。
希尔伯特空间有许多与欧几里德空间相似的性质，例如，在希尔伯特空间中，可以定义向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一许瓦兹不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希尔伯特空间中，存在着完全的标准正交系，希尔伯特空间中的任一向量可以依任一完全的标准正交系分解。
在泛函分析中，详细地研究了希尔伯特空间自共轭算子的理论，特别是自共轭算子的谱理论，这一理论在经典数学的不少领域中有广泛的应用。需要特别指出的是，自共轭算子的谱理论，为量子力学的发展，提供了适合的工具。
理论数学、应用数学和物理中的许多问题，在希尔伯特空间中，可得到较好的处理，因此，希尔伯特空间成为泛函分析中最重要的和最常用的一类空间，它在许多其他数学分支、理论物理和现代工程技术理论中，也得到了广泛的应用。

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