再生希尔伯特空间_向量、函数向量、再生核希尔伯特空间、核技巧
参考引用:A Story of Basis and Kernel 来源:http://songcy.net/
向量与内积
在一个
内积运算可以衡量两个向量的相似度
如果
向量向函数的拓展
一个函数可以看作是无限维向量。
一个定义在区间
既然函数可以理解是一种特殊的向量,那么同样可以近似定义函数的内积
因为向量的维度都是离散整数,而函数的维度是连续的,用了normalization这里采用
在向量空间中,我们可以用一组基向量来表示任意向量,函数空间也可以用一组基函数来表征其他函数。但是向量空间的基向量是有限的,函数空间的基函数可能是无限的。函数空间的基函数也是要求互相正交的,两个函数的内积如果是零则表示两个函数是正交的。
例子:Fourier Series
假设基函数为
其中
如果一个函数定义在此空间的区间
因为
所以这些系数可以计算得到
也就是傅里叶级数。
核方法
核方法的目的在于将一个
一些非线性问题可以转化为线性问题。
特征分解
考虑一个实对称矩阵
则称
更一般的,对于矩阵
其中
其中
核函数
因为函数
则
类比于矩阵的特征分解,存在特征值
对于不同的特征值
因此有基函数的内积为零
对于一个核函数(无穷维矩阵),有无限多的特征值
对应核函数(无穷维矩阵)的某个元素有
这也就是Mercer定理。这里
再生核希尔伯特空间
将
需要注意
对于任意函数,我们可以将其看作是一个无限维向量(函数在每一个输入
系数乘以基向量的形式),即对应的“点”(系数)为
此时核函数的一行
系数乘以基的形式
上式可以对照矩阵分解来理解,矩阵中的某一行对应
的其中一行,所以第一个向量应该只取一个元素;回到这里也就是核函数的某一行对应的是而不是。
对应的是一个无穷维向量
那么根据内积的定义有
可以理解为内积转化为无穷维向量对应元素相乘,再转化为系数乘以基构成一个函数后再取某一个元素
,也就是函数在的取值。
同样可以推导(无穷维向量的对应元素相乘)
这就是再生性质,因此
如果我们定义
也就是人们常说的通过核函数,我们可以将一个向量映射到再生核希尔伯特空间中的一个无穷维向量(函数)。
进一步有
即两个无穷维向量的内积等于核函数在点
这也被称作核技巧。
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