马尔科夫随机场之图像去燥【Matlab实现，PRML例子】

马尔科夫随机场，本质上是一种概率无向图模型。分类：概率图模型大致上分为两种，一种是有向图，又叫贝叶斯网络，链接节点之间的边是有方向的，用来描述变量之间的因果关系（下图左侧）；另一种是无向图，又叫马尔科夫随机场，边是没有方向的，用来描述变量之间的软约束（下图右侧）。

1.Bayesian network

用概率图表示联合概率分布密度

起点对应条件变量，如p(c|a,b)就会有两个起点一个终点。略微复杂一点的如下图：

由于变量之间如果采用全连接会使得参数个数随着变量个数成幂次增加，所以经常做一些假设来减少模型参数。第一种是独立性假设，即根据实际问题对某些变量提出独立性假设以减少链接边数；第二种采用链式链接，即每个节点只有一个子节点和一个父节点；第三种是权值共享，类似于cnn中底层的做法。

2.条件独立

定义式

下面给出三个例子一段总结

例一：节点c被称为关于（从a经过c到达b）这个路径的“尾到尾”（tail to tail）连接，因为节点与两个箭头的尾部相连

注意图中c是可观测变量

记作

例二：节点c被称为关于从节点a到节点b的路径“头到尾”(head to tail)

例三：节点c关于从a到b的路径是“头到头”(head to head)，因为它连接了两个箭头的头

注意这里当c为观测条件时不能得到p(a)p(b)的形式，所以

一个总结：TT节点或者HT节点形成的路径无堵，除非该节点被观察到（这会堵住路径）。相反，HH节点在没被观察到时候会堵住路径，不过一旦该节点或者其中一个子节点被观察到的话，路径又变成无堵的了。

3.马尔科夫随机场

一个马尔科夫随机场，又称为马尔科夫随机网络或者无向图模型，包含一组节点，每个节点都对应着一个变量或一组变量。链接是无向的，即不含有箭头，

定义团块：对每个团块所有子集的节点都是全连接的。那么整个图的联合分布由各个团块组成

这里为每个团块定义一个势函数，注意如果这个无向图不是由有向图转化而来，那么这里的势函数可以不满足概率性质。但是，由于p(x)要满足概率性质，所以势函数还是要大于等于零的。Z是归一化因子，通常取，这个分布成为boltzmann分布。这里最大的优势就是势函数可以通过选取具有一定实际意义，相当于一种相似度度量，为算法的设计增加了灵活性。

例子：图像去噪

给一幅二值图像加入噪声，加入噪声之后的图像是我们的观测值Y，而实际变量是隐变量X，现在我们就要通过Y推断X。由于噪声等级比较小，因此我们知道xi和yi之间有强烈的相关性。我们还知道图像中相邻像素xi和xj的相关性很强。这种先验知识可以通过使用马尔科夫随机场模型进行描述，它的无向图如下：

势函数定义为

（这里势函数为什么这样定义我还没有搞清楚，不知道如何解释）

咨询了原作者，原作者的解释如下图

这里只使用两种团块，第一种是xi和xj，第二种是xi和相邻的xj。我们分别给不同的系数来调节其在势函数中的权重，由于最后的概率计算要取

最大，所以这里等价于去E(x,y)最小。

具体代码如下：

%实现PRML P387 例子：使用mrf降噪
%输入一个二值图像并加入噪声
close all;
clear all;
I=imread('Penguins.jpg');
I1=im2bw(I);
subplot(2,2,1)
imshow(I1);
title('原图像');
J = imnoise(I,'salt & pepper', 0.2);
J1=im2bw(J);
subplot(2,2,2)
imshow(J1);
title('噪声图')
Y=ones(size(J1));
Y(J1==0)=-1;
[m,n]=size(Y);
X=Y;h=0;beta=3.5;eta=.1;
while 1
tot=0
for i=2:1:m-1
for j=2:1:n-1
temp=X(i,j);
X(i,j)=-1;%根据定义计算势函数
E1=h*X(i,j)-beta*X(i,j)*(X(i-1,j)+X(i+1,j)+X(i,j-1)+X(i,j+1))-eta*X(i,j)*Y(i,j);
X(i,j)=1;
E2=h*X(i,j)-beta*X(i,j)*(X(i-1,j)+X(i+1,j)+X(i,j-1)+X(i,j+1))-eta*X(i,j)*Y(i,j);
if E1<E2
X(i,j)=-1;
else
X(i,j)=1;
end
if temp~=X(i,j)
tot=tot+1;
end
end
end
if tot<1
break;
end
end
J2=X;
J2(X==-1)=0;
subplot(2,2,3)
imshow(J2);
title('mrf降噪结果')

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