关于马尔科夫随机场（MRF）在图像分割中应用的个人理解

首先明确几个基本概念（个人理解）：

先验概率：基于历史经验得到的当前事件发生的概率

后验概率：根据数据或证据得到的事件发生的概率（由因到果）

似然概率：已知事件发生的概率下数据或证据发生的概率（由果到因）

图像分割和目标识别都可以看成一个图像中各个像素点做label的过程。例如进行边缘检测，就是以一定阈值判断这些像素值属于标签集{edge，nonedge}中的哪一类。

为此，我们认为每个像素s在图像中具有一个特征向量，对整张图有

定义每个像素s属于label ws，对整张图有

根据以上定义，图形分割从概率的角度来说就是一种求各像素点属于每个label的概率，取其中最大的那个label的过程。

P(w|f)表示基于observed feature f的条件下属于一个标签的概率，也叫后验概率。因此，该过程就是最大化后验概率来寻找最优标签w。该思想被称作MAP（Maximum a Posteriori），即就是

基于贝叶斯理论可知P(w|f)与P(f|w)和P(w)有关

P(f|w)就是似然概率，P(w)是先验概率，P(f)是一个常量。

由于图像中某些区域的相邻像素点见会有相似的颜色，纹理之类的，那么马尔科夫随机场这种概率模型就能够得到很好的应用。

根据The Hammersley-Clifford Theorem可知，当且仅当先验概率P(w)满足Gibbs分布时，随机场为马尔可夫场。Gibbs分布就是如下形式

是归一化参数。

下面介绍Clique的概念。

当一个子集C属于S满足其中的每一对像素点都是相邻的情况下，该子集被称为clique，含有n个像素的C为Cn。图像中clique的交集表示为C，即

对每个C，对应有一个clique potential，定义为Vc（w），w是前文中的标签。那么易得

我们一般假定似然概率符合高斯分布（因为噪声呈高斯分布？）

对于定义的Clique potentials有以下值：

singleton（单个像素点）Clique potential=logP(f|w)

doubleton（像素点对）Clique potential是一个分段函数，与平滑性有关，参数beta越大则该区域越homogenous（同质）

定义mrf模型的能量方程为

寻找最优w的过程就是优化能量函数的过程。

以上就是基本思路，常用优化算法如模拟退火梯度下降之类的对能量函数进行优化。

参考资料：https://inf.u-szeged.hu/~ssip/2008/presentations2/Kato_ssip2008.pdf，主要为翻译，附带一点个人理解。

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