算法——人的天性贪心算法

相应的练习代码：https://github.com/liuxuan320/Algorithm_Exercises

0. 写在前面

说起贪心算法，可能是我们最为熟悉的算法了。正如我标题所说的，贪心算法之所以称之为贪心，就是由于它的核心思想和我们人的天性一模一样。都是选取当前情况下的最优值，但是如何选取一种度量标准，使得我们的贪心能获得全局最优，这是一个值得商榷的问题。下面，我们就开始全面的介绍贪心算法。

1. 贪心算法的定义

贪心算法主要使由于这样一个问题而产生的：

它有N个输入，而它的解就是由这n个输入的某个子集组成，但是要满足某些条件。
这些必须要满足的条件称为约束条件。
把满足约束条件的子集称为该问题的可行解。
度量可行解优劣的函数称为目标函数。
目标的取极值的可行解称为最优解。

以上就是贪心算法的大概描述，那么它的具体实现是如何呢，我们下面给出答案。
贪心算法的步骤：
1. 先选取一种度量标准。
2. 按照这种度量标准对这N个输入进行排序，然后一个一个输入。
3. 如果这个输入不能和当前部分最优解加在一起产生一个可行解，则不把此输入加入到这部分解中。

没错，这就结束了。但是具体的算法应该是这样写的：

//贪心算法的抽象化控制
procedure GREEDY(A,n)
//A(1:n)包含n个输入solution<-Φ //将解向量初始化为空for i<-1 to n dox<-SELECT(A)if FEASIBLE(solution,x)then solution<-UNION(solution,x)endifrepeatreturn solution
end GREEDY

2. 贪心算法核心——背包问题

1.问题描述

之所以把背包问题单独列出来进行讨论，是因为它的特殊性。由于它是一个经典案例，所以在接下来的很多算法中，都会看到它的身影。
我们这里是普通的背包问题，也就是说可以进行拆分放入的。具体问题描述如下：

已知有N种物品，一个可容纳M重量的背包。每种物品i的重量为wiw_i，假定讲物品i的一部分xix_i放入背包就会得到pixip_ix_i的效益，怎样才能使装入物品总重量不超过M，且总收益最大。

2.背包问题的贪心算法

1. 问题描述

很显然这种问题我们经常在故事里听到，很显然，首先我们想到的就是把最贵的东西先装进去，可是最贵的东西一定是总价格最大的么？未必，由于总价格最大的潜在因素就有可能它的体积也非常庞大，因此单价不高。我们生活中嫌弃一个东西贵不贵，都是问单价，比如水果啊什么的，一斤多少钱，这里也是一样。那么我们就可以获得以下抽象化描述：
目标函数：总收益最大
度量标准：
~~效益值增量最大~~
单位效益值最大

2. 算法描述

有了上述问题分析后，我们就可以有这样一个算法：

//背包问题的贪心算法
procedure GREEDY-KNAPSACK(P,W,M,X,n)//P,W分别按照单位效益由高到低排序，M是背包的容量，X是解向量。real P(1:n),W(1:n),X(1:n),M,cuinteger i,n;X←0cu←Mfor i←1 to n doif W(i)>cu then exit endifX(i)←1cu←cu-W(i)repeatif i≤n then X(i)←cu/W(i)endif
end GREEDY-KNAPSACK

对于这个算法是不是最优算法，我们可以给出证明，这是最优算法，但是这里由于篇幅有限，不在此说明，具体证明可以自行查阅。

3. 贪心算法若干应用

1. 带有期限的作业排序

1. 问题描述

有限期作业是这样的一个问题：有N个作业需要在1台机器上完成，每个作业均可在单位时间内完成。又假定每个作业i都有一个截止期限did_i>0,当且仅当作业i在截止日期前被完成时方可获得pip_i>0的效益。

2. 问题求解

通过上述描述，我们可以找到目标函数：总效益最大。而度量标准为：按照收益非增次序排序。这一点和背包问题相类似。
具体的算法如下：

//带有期限和效益的单位时间的作业排序贪心算法
procedure JS(D,J,n，k)integer D(0:n),J(0:n),i,k,n,rD(0)←J(0)←0k←1;J(1)←1for i←2 to n dor←kwhile D(J(r))>D(i) and D(J(r))≠r dor←r-1repeatif D(J(r))≤D（i） and D(i)>r thenfor i←k to r+1 by -1 doJ(i+1)←J(i)repeatJ(i+1)←i;k←k+1endifrepeat
end JS

这个算法还有优化的空间，大家可以思考一下。

2. 最优归并模式

1. 问题描述

最优归并模式问题描述如下：若两个分别包含n个和m个记录的已排序文件可以在O（m+n）时间内归并到一起而得到一个新排序的文件。现在给出n个文件，求最快归并完成的方案（使用二路归并）

2. 问题求解

看过这个问题，大家很容易想到哈夫曼树，没错，这个和哈夫曼树的想法是已知的，每次都归并尺寸最小的两个文件。具体算法如下：

procedure TREE(L,n)for i←1 to n-1 docall GETNODE(T)LCHILD(T)←LEAST(L) //最小的长度RCHILD(T)←LEAST(L) WEIGHT(T)←WEIGHT(LCHILD(T))+WEIGHT(RCHILD(T))call INSERT(L,T)repeatreturn (LEAST(L))
end TREE

这个代码应该很容易看懂，就是把最小的两个节点合并为新的节点。

3. 最小生成树

1. 问题描述

最小生成树是图论中一个经典的问题，它的解决方法也各不相同，最经典的有两种，一个是Prim算法，一个是Kruskal算法。该问题的具体描述如下：
设G=（V，E）是一个无向连通图。如果G的生成子图T（V，E’）是一棵树，则称T是G的一棵生成树。
而生成树和连通图的关系是：任何一个具有n个节点的连通图都必须至少有n-1条边，而所有具有n-1条边的n结点连通图都是树。

2. Prim算法

prim算法的贪心原则是：选择最短的点加入到解集中。
下面我们不介绍具体代码，我们对PRIM算法进行拆解。我么您所需的数据结构有：
COST(n,n) 这是成本的邻接矩阵
T（1：n-1,2）这是解集生成树
NEAR（n）目标与解集树之间的成本最低的结点。
算法的具体的过程如下：
1. 找到成本最小的边
2. 初始化NEAR，即找出每个点与已生成树之间的成本最低的结点。
3. 在对其余的n-2条边：
对每一条边都计算一下已生成树的成本，并找到最小的一个成本边。
加入至已生成树后，对NEAR进行更新。

3. Kruskal算法

Kruskal算法与Prim算法不同，它的贪心原则是：选择最短的边加入到解集中。其算法如下：

procedure KruskalT←Φwhile T的边少于n-1条 do从E中选取一条最小成本的边（V,W）从E中删去（V,W）if(V,W)在T中不生成环then 将（V,W）加到Telse 舍弃（V,W）endifrepeat
end Kruskal

Kruskal的算法的难点在于如何判断一个图是否为连通图，一个图是否存在回路。这个问题，我们会单独进行讲解。

4. 单点源最短路径

1. 问题描述

单源点的最短路径问题也是一个十分经典的算法问题，这个问题如下：从甲地到乙地有多种路径，求最短路径。

2. Dejesk算法

这种问题尤其是在地图路径规划上能够用到，它和多段图的区别在于，它的每个顶点的先后顺序是不固定的，如果用多段图的话，就可以使用动态规划算法了，这里我们使用的Dejesk算法，它的贪心规则为每次选择与V0V_0最短的路径。
关于Dejesk算法，我们对其核心思想进行讲解，不写具体代码，具体代码可以在我的Github上找到。
我们所需的数据结构有COST(n,n)，这是成本邻接矩阵,DIST(n)，这是从V（出发点）到i点的最短距离，到自己的点为0，S（n）这是解集，里面只存0（未纳入）和1（已纳入）。
具体步骤如下：
1. 首先初始化解集S，全置为0，初始化DIST（n）为COST（V，i）
2. 然后把开始结点V纳入解集中S（V）←1，DIST(V)←0
3. 对于剩下的n-1条路径
1）找到DIST（n）中最小的DIST(u)
2）把u纳入到解集中
3）修改DIST(n)中的所有S（i）=0的点，修改方法为DIST(w)←min(DIST(w)，DIST（u）+cost(u,w))
这样，我们的Dejesk算法就介绍完毕了。这次贪心算法比较简单，大家可以自己实现一下。