java贪心算法区间调度_贪心算法-区间调度问题解之证明(示例代码)

一、贪心算法

定义：一个算法是贪心算法，如果它是通过一些小的步骤来一个求解，并且在每一步根据局部情况选择一个决定，使得某些主要的指标得到优化。

二、区间调度问题

1. 问题：我们有一组需求{1,2,3,......,N},第i个需求与一个开始时间s(i),结束时间f(i)相对应。如果没有两个需求在时间上重叠，我们就说需求的子集是相容的。

2. 目标：寻找一个最大的相容子集O.

3. 算法：

初始令R是所有需求的集合，设A为空

While ( |R| > 0 )

选择一个最早结束的需求

把i加入到A中

在R中删除所有与i不相容的需求

End

返回集合A作为被接受的需求的集合

算法规则：该贪心算法的规则是，每一步选择一个最早结束的需求，尽快释放资源。

4. 证明算法的正确性：

假设O是最优解，由于最优解可能有多个，所以，我们只需要证明|A|=|O|，既证明集合A与集合O包含的需求个数相等。显然，A,O都是相容的，既A,O中的任意两个需要都不会重叠。

算法思想：该证明主要是想找出这样一种认识，我们的贪心算法“领先”于这个最优解O. 我们把贪心算法构造的部分解与最优解O初始的一段进行比较，并且证明贪心算法以一步接一步的方式做的更好。

假设，A = { i1,i2,......,ik}, O = { j1,j2,......,jm} ,既我们要证明k=m；同时，我们假设，A中的需求按照加入到A的顺序排序，O中的需求也按照对应区间的自然顺序排序。既有：

对任意的i,有 f(ir) <= s(ir+1)

对任意的j,有 f(jr) <= s(jr+1)

现用数学归纳法证明k=m

1)r=1 , 显然有f(i1) <= f(j1)

因为，贪心算法每一步骤都是选择最早结束的区间，故而有f(i1) <= f(j1)

2)假设第r-1步有，f(ir-1) <= f(jr-1)

3)第r步，证明f(ir-1) <= f(jr-1)

因为O是相容的，故而有：f(jr-1) <= s(jr)

又因为：f(ir-1) <= f(jr-1)

所以：f(ir-1) <= f(jr-1) <= s(jr)

既：f(ir-1) <= s(jr)

根据以上贪心算法知，在第r步区间jr还在R中，而贪心算法的第r步是要在R中选择一个最早结束的区间ir,所以有：f(ir) <= f(jr)

总结: 对任意的r，都有f(ir) <= f(jr)

现在用反证法证明m=k,既A是最优解：

假设A不是最优解，既O中存在一个需求jk+1，该需求在jk 结束之后开始，又因为f(ik) <= f(jk),故而在需求也在ik 结束之后开始，故而jk+1与 i1,i2,......,ik相容，所以jk+1在R中；而由贪心算法知，该算法结束时R为空，故而矛盾。所以A是其中一个最优解。

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