解题思路1“降低次方和次元”

所谓次方，就是例子当中x上面的n：

x n

同理，x 3 就是3次方x 4 就是4次方。

降低次方的目的之一，就是让运算变得更轻松。

比如说，我们将(a+b) n 进行展开：

可以看出，随着次方的升高，整个运算就变得更加复杂。反过来，如果能够降低次方，那么复杂的问题一下子就变得简单了。到底在怎样的情况下能够降低次方呢？我们拿“1开3次方”来举例子。

1开3次方

所谓1开3次方，指的是某数的3次方等于1，也就是：

x 3 =1　……①

当然了，x=1是1开3次方的解之一。但并非唯一的解。在接着往下说之前，我们先来复习一下因数分解的公式。

【因数分解的公式】

a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )

让我们来确认一下这个公式，等号右边是不是真的等于左边。

我们对算式①进行移项，将等号右边的1移到左边来，得出：

x 3 -1=0

然后我们按照上面因数分解的公式进行变形，得出：

也就是：

(关于AB=0这个话题，我们等到后面“解题思路5”这个章节再来详细讨论。)

x-1=0的解，就是x=1。而x 2 +x+1=0，很遗憾，这里不能再因数分解了，于是我们只好用2次公式来求解。

【2次公式】

当ax 2 +bx+c=0的时候：

由于x 2 +x+1=0，那么：

虽然

面是个负数，但是请大家不必惊讶。我们还准备了虚数单位i来应对这种情况。所谓虚数单位i，就是当某数的2次方为负数(我们将它称为虚数)的时候，所给出的定义。

【虚数单位i】

i 2 =-1

在这里，我们代入虚数i，使得

=

=

，那么先前的2次方程式的解为：

感谢大家的配合，能够一直耐心的读到这个地方。现在我们搞明白了一点，1开3次方之后，得出的解除了等于1之外，还有一个非常复杂的数字。那么，对于这个复杂的数字

，我们是不是还要再求出它的2次方，甚至是5次方？

我可不想面对那么麻烦的运算。于是，我们就想办法降低次方。

那我们假设：

(ω是希腊字母，读作“欧米茄”，而不是英文中的w)，假设ω是上述2次方程式x 2 +x+1=0的解，那么，我们将ω代入方程式，就可以得出：

ω 2 +ω+1=0

然后再将它进行如下变形：

ω 2 =-ω-1

另外，由于ω就是一开始的x 3 =1的解，那么，我们将ω代入到x 3 =1当中，就可以得出：

ω 3 =1

我们再把这两个方程式放在一起，得出，

接下来就是关键部分了！

在☆号联立方程式中，上面一个方程式，等号左边为2次方，右边为1次方；下面一个方程式，等号左边为3次方，右边为0次方(常数项)。

也就是说，我们降低了☆号联立方程式的次方！比方说，我们来算一下ω的4次方。就能够用到☆号联立方程式：

这样一来，运算变得相当简单。那么，ω的11次方又是多少呢？也可以运用☆号联立方程式，将它变成1次方程式：

按照这个模式，我们再来算一下ω的30次方又是多少呢？同样是运用☆号联立方程式，降低它的次方：

像这样，运用☆号联立方程式来对ω进行运算，那么不管遇到怎么样的情况，我们都可以降低它的次方，使它变成1次方程式或者常数项。

最难得的是，我们可以把之前的复杂数字代入到ω当中，进行进一步的运算。根据前面所算出的结果，我们可以得出：

我们可以看得出，等号左边非常复杂，但是等号右边的计算，就变得十分轻松。这就是降低次方的乐趣所在。

除了在1开3次方(ω)当中我们运用到了降低次方的思路以外。“陪集定理”“三角函数的半角公式”，还有“哈密尔顿定理”，也都运用到了这种思路。

在几何图形当中，同样可以降低“次元”

前面我们说到了次方，现在我们要说另外一个“次”，那就是“次元”。在几何图形，特别是立体图形当中要降低次元，这一点非常重要。，让我们来看一下如下图形：

这是一个长方体。我们把这种图称之为草图。

实际上，当我们看到这个图形，就能够辨认出它是一个“长方体”，这完全是教育的功劳。换一种说法，我们实际上已经被教育“洗脑”了。如果你把这个图形给那些没受过算术、数学教育的人来看，他们就不会认为这是一个长方体。为什么呢？因为长方体的每一个角都应该是直角，而这张图上面，没有哪一个角是直角。当我们把3次元(空间)的物体落在2次元(平面)上的时候，图形自然就会发生扭曲。

所以，当我们遇到立体几何问题的时候，如果按照这样的草图来思考，就容易产生错觉。本来应该是相同长度的两条边，就会显得不一样长；本来应该是直角，看上去就不是直角。那么，应该怎么办呢？

让我们来考虑一下能不能降低它的次元。 把3次元变成2次元，也就是说，找出空间图形当中关键部分，然后把它画在平面图上。这样的平面图看上去没有不实的地方，我们可以根据它来思考问题。也就是说，降低图形的次元，会让问题变得容易许多。

我们来看一个例题。

解这道题，最重要的就是从图形当中把四边形MHFN给提取出来，画成平面图。这时候，你是否能够看出MH和NF的长度是相等的？

如果仅仅是看这张草图的话，也许有人会产生错觉，误以为MH和NF的长度是不等的。但是，如果画出正方形DHGC和正方形BFGC的平面图，我们就能看出M和N分别为CD和BC两条边上的中点。如此一来，MH=NF就一目了然了。

由此我们可以画出MHFN的平面图，因为MH=NF，也就是说，MHFN是一个等边梯形。

这样一来，我们就可以运用勾股定理计算它的面积。首先我们可以算出MN的长度。如果画出△MNC的平面图，再运用勾股定理的话，就很容易算出来：

接下来，可以按照画△MNC的方式画出△HFG，它的边长是△MNC的2倍。

然后我们再画出MHFN的平面图：

在这里，HI和JF是同样的长度，所以：

由于梯形的面积为：

(上底+下底)×高÷2

因此，我们只要知道高度(MI和NJ的长度)，就能够得出MHFN的面积。

在这里，△MIH是直角三角形，那我们就可以运用勾股定理来计算。但是，要想计算MI的长度，就必须先计算MH的长度。那么，我们就要从正方体的草图当中提取出△DHM。提取出来之后，就能看出这也是一个直角三角形。

至此，我们就可以计算MI的长度了。

Mh 2 =HI 2 +MI 2

我们将MH=

，HI=

代入到算式当中，得出梯形的高度为：

最后，梯形MHFN的面积：

在整个运算的过程当中，我们要注意的重点就是 从草图当中提取出几个平面图。 通过降低次元，我们把3次元的草图变成2次元的平面图，这样运算就会变得轻松。

今后，当你感觉计算困难的时候或者是把握不了立体图形的时候，不妨想一想：能不能降低次方或次元？

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