希尔密码

1、原理

希尔密码是一种运用基本矩阵论原理的代换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。

首先将字母转换为数字，将字母分成多个n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果模26。需要注意的是密钥矩阵必须是可逆的，即矩阵的行列式和26互质。

Hill密码能较好地抵抗统计分析法，对抗唯密文攻击的强度较高，但易受到已知明文攻击。

2、流程图

3、编程实现

难点：如何根据密钥矩阵求密钥逆矩阵

行列式可逆的充分条件：方阵的行列式不等于零 在这里行列式的值还需要和26互质 矩阵求逆可以使用伴随矩阵法和LU分解法

为了减少计算量和实现难度，这里使用3*3的密钥矩阵。同时伴随矩阵法求逆一般使用下面公式

$K^{-1}=d^{-1}\times adj(K)$ （行列式值的逆乘以伴随矩阵）

参考：希尔密码矩阵求逆

具体代码如下：

默认输入小写英文字母明文不带空格，以及3*3的密钥矩阵存在逆矩阵且为正整数。（因为这样实现简单。。。）

主函数：

#include"Hill.h"int main() {while (1) {show();     //菜单界面keyDown();    //按键处理system("pause");system("cls");}
}

Hill.h

#pragma once
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<Windows.h>
#include<vector>
using namespace std;
void init();
void show();
void keyDown();
void readFile();
void saveFile();
void encrypt();
void decrypt();
int gcd(int a, int b, int& x, int& y);
int getInv(int a, int m);
void getAntiKey(int key[][3]);

Hill.cpp

#include "Hill.h"
string fileStr = "";
string finalStr = "";
int x = 0, y = 0;
int antikey[3][3];//密钥的逆
int key[3][3];//密钥
/*
0 11 15
7 0 1
4 19 0
*/
void init()//初始化
{x = 0;y = 0;fileStr = "";finalStr = "";memset(antikey, 0, sizeof(antikey));memset(key, 0, sizeof(key));
}
void show()
{cout << "*****************希尔密码*****************" << endl;cout << "\t\t1.加密文件" << endl;cout << "\t\t2.解密文件" << endl;cout << "\t\t3.退出" << endl;cout << "******************************************" << endl;}void keyDown()//按键处理
{int userkey = 0;cin >> userkey;switch (userkey) {case 1:cout << "-----------------加密文件-----------------" << endl;readFile();encrypt();saveFile();init();break;case 2:cout << "-----------------解密文件-----------------" << endl;readFile();decrypt();saveFile();init();break;case 3:exit(0);break;}
}void readFile()//读取文件
{cout << "请输入文件名：" << endl;string fileName;cin >> fileName;FILE* fp = fopen(fileName.c_str(), "r+");if (fp == nullptr) {cout << "未找到相关文件" << endl;return;}else {cout << "成功打开文件" << endl;}char ch;int pos = 0;while ((ch = fgetc(fp)) != EOF) {fileStr += ch;}cout << endl << "待处理的文件为：" << endl;cout << fileStr << endl;fclose(fp);
}void saveFile()//保存文件
{string fileName;cout << endl << "请输入要保存信息的文件名：" << endl;cin >> fileName;FILE* fp = fopen(fileName.c_str(), "w+");if (fp == nullptr) {cout << endl << "保存文件失败" << endl;return;}else {cout << endl << "保存成功" << endl;}fprintf(fp, "%s", finalStr.c_str());fclose(fp);}void encrypt()//加密文件
{vector< vector<int> >  c;//明文矩阵vector< vector<int> >  a;//密文矩阵 if (fileStr.size() % 3 == 1)fileStr += "xx";//补充两个if (fileStr.size() % 3 == 2)fileStr += "x";int* m = new int[fileStr.size()];//明文按列分组并转化为数字 //分成多个3个字母的列向量for (int i = 0; i < fileStr.size(); i++) {m[i] = fileStr[i] - 'a';}for (int i = 0; i < fileStr.size(); i += 3) {vector<int> temp = { m[i],m[i + 1],m[i + 2] };c.push_back(temp);}cout << endl << "明文矩阵为：" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < c.size(); j++) {cout << c[j][i] << " ";//明文矩阵 }cout << endl;}cout << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < c.size(); j++) {cout << char(c[j][i] + 97) << " ";//明文矩阵 }cout << endl;}cout << endl;cout << "请输入密钥矩阵（默认矩阵可逆且为整数）" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {cin >> key[i][j];}}cout << endl << "按下任意键进行加密" << endl;char ch = getchar(); ch = getchar();//矩阵乘法for (int i = 0; i < c.size(); i++) {//矩阵的列数 vector<int> temp;for (int j = 0; j < 3; j++) {int pos = 0;for (int k = 0; k < 3; k++) {pos += key[j][k] * c[i][k];}temp.push_back((pos) % 26);}a.push_back(temp);}cout << "密文矩阵" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < a.size(); j++) {cout << a[j][i] << " ";//密文矩阵 }cout << endl;}cout << endl;for (int i = 0; i < a.size(); i++) {for (int j = 0; j < a[0].size(); j++) {finalStr += char(a[i][j] + 97);}}delete[]m;cout << endl << "得到的密文为:" << endl;cout << finalStr << endl;
}void decrypt()//解密文件
{vector< vector<int> >  c;//密文矩阵vector< vector<int> >  a;//明文矩阵 int* m = new int[fileStr.size()];//密文按列分组并转化为数字 //分成多个3个字母的列向量for (int i = 0; i < fileStr.size(); i++) {m[i] = fileStr[i] - 'a';}for (int i = 0; i < fileStr.size(); i += 3) {vector<int> temp = { m[i],m[i + 1],m[i + 2] };c.push_back(temp);}cout << endl << "密文矩阵为：" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < c.size(); j++) {cout << c[j][i] << " ";//密文矩阵 }cout << endl;}cout << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < c.size(); j++) {cout << char(c[j][i] + 97) << " ";//密文矩阵 }cout << endl;}cout << endl;cout << "请输入密钥矩阵（默认矩阵可逆且为整数）" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {cin >> key[i][j];}}getAntiKey(key);//求逆矩阵cout << endl << "成功求出密钥矩阵的逆" << endl;//密钥矩阵的逆矩阵for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {cout << antikey[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << endl << "按下任意键进行解密" << endl;char ch = getchar(); ch = getchar();//矩阵乘法for (int i = 0; i < c.size(); i++) {//矩阵的列数 vector<int> temp;for (int j = 0; j < 3; j++) {int pos = 0;for (int k = 0; k < 3; k++) {pos += antikey[j][k] * c[i][k];}temp.push_back((pos) % 26);}a.push_back(temp);}cout << "解密后的矩阵" << endl;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < a.size(); j++) {cout << a[j][i] << " ";}cout << endl;}cout << endl;for (int i = 0; i < a.size(); i++) {for (int j = 0; j < a[0].size(); j++) {finalStr += char(a[i][j] + 97);}}delete[]m;cout << endl << "得到的明文为:" << endl;cout << finalStr << endl;
}int gcd(int a, int b, int& x, int& y)//求最大公约数
{if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}int g = gcd(b, a % b, x, y);int temp = x;x = y;y = temp - (a / b) * y;return g;
}int getInv(int a, int m)//求乘法逆元
{gcd(a, m, x, y);return (x % m + m) % m;
}void getAntiKey(int key[][3]) {//求行列式值 int v1 = key[0][0] * (key[1][1] * key[2][2] - key[1][2] * key[2][1]);int v2 = -key[0][1] * (key[1][0] * key[2][2] - key[2][0] * key[1][2]);int v3 = key[0][2] * (key[1][0] * key[2][1] - key[1][1] * key[2][0]);//cout<<v1<<" "<<v2<<" "<<v3<<endl;int d = (v1 + v2 + v3) % 26;//cout<<d<<endl;int dinv = getInv(d, 26);//cout<<dinv<<endl;//求伴随矩阵 int temp[4];for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {memset(temp, 0, sizeof(temp));int pos = 0;for (int x = 0; x < 3; x++) {for (int y = 0; y < 3; y++) {if (x != i && y != j) {temp[pos++] = key[x][y];}}}int cur = pow(-1, i + 1 + j + 1) * (temp[0] * temp[3] - temp[2] * temp[1]);antikey[j][i] = (dinv * (cur % 26 + 26)) % 26;}}}

4、总结

通过采用线性代数中的矩阵乘法运算和逆运算，能够较好地抵抗频率分析，很难被攻破。当加密矩阵的阶数n越大，破译的难度就会增大，此时计算量也大。

希尔密码体系为破译者至少设置了三道关口，加大了破译难度。破译希尔密码的关键是猜测文字被转换成几维向量（列矩阵的行数）、所对应的字母表是怎样排列的，更为重要的是要设法获取加密矩阵A。要破解密码，向量的维数、字母的排列表和加密矩阵三者缺一不可。（百度百科）

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