扩展欧几里得算法求逆元

解方程 ax + by = gcd(a, b)

在欧几里得算法中通过定理gcd(a, b) = gcd(b, a%b)，我们使用递归求得a与b的最大公约数，在递归边界当b = 0时，a = gcd(a, b)，此时显然有a * 1 + b * 0 = gcd。对于这样的一个式子，我们能否对它进行推广呢？

在递归的其中一步，通过相关定理（此处不叙述）可知 ax1+by1=gcd(a,b)ax_1 + by_1 = gcd(a, b)ax1+by1=gcd(a,b)中解x1、y1x_1、y_1x1、y1一定存在
下一步计算gcd(b,a%b)gcd(b, a \% b)gcd(b,a%b)时，又有bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)bx_2 + (a \% b)y_2 = gcd(b, a \% b)bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)成立
而gcd(a,b)=gcd(b,a%b)而gcd(a, b) = gcd(b, a\%b)而gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
所以ax1+by1=bx2+(a%b)y2ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \% b)y_2ax1+by1=bx2+(a%b)y2成立，这样我们就发现x1、x2、y1、y2x_1、x_2、y_1、y_2x1、x2、y1、y2之间存在关系
a%b=a−(a/b)∗ba \% b = a - (a/b) * ba%b=a−(a/b)∗b成立（想一想为什么?）
代入得ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - (a/b) * b)y_2ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2
整理得ax1+by1=ay2+b(x2−(a/b)y2)ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2 - (a/b)y_2)ax1+by1=ay2+b(x2−(a/b)y2)
由于对于递归过程中任一步都满足，对比两式，可得递归表达式

{x1=y2y1=x2−(a/b)y2\left\{ \begin{array}{c} x_1 = y_2 \\ y_1 = x_2 - (a / b)y_2 \end{array} \right. {x1=y2y1=x2−(a/b)y2

已知递归边界a * 1 + b * 0 = gcd，递归表达式，能够递归得到ax + by = gcd(a, b)的其中一个解

//求最大公约数的同时求ax + by = gcd(a, b)的解
//使用引用，exGcd函数结束时，x,y中就是所求解
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) {//递归边界if (b == 0) {x = 1; y = 0; return a;}//递归计算最大公约数gcdint gcd = exGcd(b, a % b, x, y);//递推公式，求解int temp = x;x = y;y = temp - a / b * y;return gcd;
}

乘法逆元的求解

//返回值是a模m的逆元
int inv(int a, int m) {int x;int y;int gcd = exGcd(a, m, x, y);    //此时得到的x是方程的一个解，但不一定是方程的最小正整数解，x可能为负return (x % m + m) % m;         //(x % m + m) % m 是方程最小正整数解，也就是a模m的逆元
}

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