3升5升得4升——倒水问题的万能解法（扩展欧几里得算法）

扩展欧几里得算法及其应用

问题：假设你有一个3升的容器和一个5升的容器（以及充足的水源），如何精确地取出4升水来？（为了下文叙述的方便，我们不妨把3升的容器和5升的容器分别记做容器A和容器B）。这里提供一种解法：

将A装满（3升），全部倒入B
再次将A装满（3升），用A中的水将B装满，此时A有1升，B有5升
B中的水全部倒出，将A中的1升水倒入B，此时A没有水，B有一升
再次将A装满（3升），将A中的水全部倒入B，此时B中恰有4升的水

显然这类问题可以有其他的解决方案。我们可轻易地编出其他类似的问题，比如是否能够用7升的水杯和13升的水杯量出5升的水，再比如能否用9升的水杯和15升的水杯量出10升的水，不胜枚举。三升五升得四升的问题还算直观，稍作思考便可构造解决方案。7升13升得5升，似乎就没那么直观了。而且还有一个问题，首先需要判断是否可行，然后才是给出解决方案。

这样的问题存在一个万能的解法吗？答案是肯定的。注意到，用3升的容器和5升的容器量出4升的水，这一看似复杂的步骤可以简单地概括为：不断地将整杯整杯的A往B里倒，期间只要B被装满就把B倒空。即求解 3xmod5=43x\mod 5=4，使用扩展欧几里得算法及其应用一文的算法我们可轻易解得 x=3x=3。首先根据扩展欧几里得算法，问题有解。x=3x=3 时，对应的解决方案见上文。

接着看 7 升 13 升得 5 升，也即 7xmod13=57x\mod 13=5，7,137,13 互质，首先判断有解，即存在这样一个解决方案。这个方案是怎样的呢？

第一步，首先来看贝祖等式时的情况，也即 7xmod13=17x\mod 13=1时，此时解得 x=2x=2，也即 2 个 A 倒入 B，A余一升（得1升）

第二步，7xmod13=57x \mod 13=5，此时 x=(2×5)%13=10x= (2\times 5)\%13=10，也即对第一步的行为执行五次，如下：

将装满 7 升水的 A 倒入 B ⇒ A（0升），B（7升）
将装满7升水的 A 倒入 B，直到 B 加满为止 ⇒ A（1升），B（13升）
将 B 清空，⇒ A （1升），B（0升）
将 A 中的一升水倒入 B，⇒ A（0升），B（1升）（1,2,3,4 步为一个单元）
将 A 加满倒入 B，⇒ A（0升），B（8升）
再次将 A 加满倒入 B，直到 B 满为止，⇒ A（2升），B（13升）
将 B 清空，⇒ A（2升），B（0升）
将 A 中的 2 升水倒入 B，⇒ A（0升），B（2升）
。。。
直到 A（5升），B（0升）；

我们进一步将问题抽象，用容积分别为 aa 和 bb 的水杯量出体积为 cc 的水，实际上相当于求解方程 a⋅xmodb=ca\cdot x\mod b=c。如果 a,ba,b 互质，问题保证有解。如果 c==gcd(a,b)c==gcd(a,b) 或者 c==k⋅gcd(a,b)c==k\cdot gcd(a,b)，用扩展欧几里得算法便可求解 xx，然后得最终的量水方案。如果 cc 不能被 gcd(a,b)gcd(a,b) 整除，方程无解，也即问题无解，比如9升15升的容器得10升的水，1010 不能被 gcd(9,15)=3 gcd(9,15)=3 整除。

def ext_euclid(a, b):# 扩展的欧几里得算法# 用以求解# d = gcd(a, b) = a*x+b*yif b == 0:return (a, 1, 0)d, x, y = ext_euclid(b, a%b)return (d, y, x-a//b*y)def mod_linear_equation(a, b, c):d, x, y = ext_euclid(a, b)if c % d:raise 'no solution'return x * c//d % bif __name__ == '__main__':print(mod_linear_equation(3, 5, 4))# 3print(mod_linear_equation(7, 13, 5))# 10

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