BZOJ - 2186 欧拉函数

题目的意思大概是求1~N!中和M！互质的数的个数

因为对欧拉函数理解不够深刻所以我是分析得到结果的：

当N<=M的时候显然符合要求的数的个数为0；

当N>M的时候我们要求的是1~N!中不含1 ~M的素因子的的数的个数，结合欧拉函数的推导过程（容斥原理）假设N!在1 ~ M中含有k个素因子，设n=N!，那么符合要求的数的个数就是

n−n/p1−n/p2−...−n/pk+n/p1p2+n/p1p3+...+n/p(k−1)pk−...=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)n-n/p1-n/p2-...-n/pk+n/p1p2+n/p1p3+...+n/p(k-1)pk-...=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)n−n/p1−n/p2−...−n/pk+n/p1p2+n/p1p3+...+n/p(k−1)pk−...=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)
因为我们不能首先求出n的大小再算（如果可以求出n的大小的话那显然直接计算就可以，但是我们必须要模R），在模R的情况下我们应该求出pi的逆元，所以整个过程就是线性筛得到1~M的素数因子以及他们的逆元，然后与N!相乘计算（按照上面的公式）

我的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<climits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e7+5;
int prime[MAXN];
bool check[MAXN];
int N[MAXN],r[MAXN],ans[MAXN];
int tot;
ll R,n,m;void ex_gcd(int a,int b,int& d,int &x,int &y)
{if(!b) {d=a; x=1; y=0;}else{ex_gcd(b,a%b,d,y,x); y-=(a/b)*x;}
}int getine(int a)
{int x,y,d;ex_gcd(a,R,d,x,y); x=(x%R+R)%R;return x;
}void creat_prime()
{tot=0; r[1]=1; N[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){N[i]=(ll)N[i-1]*i%R;if(!check[i]){prime[tot++]=i;r[i]=getine(i);}for(int j=0;j<tot && prime[j]*i<MAXN;j++){check[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0) break;}}
}void init()
{ans[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){ans[i]=ans[i-1];if(!check[i]) ans[i]=(ll)ans[i]*(i-1)%R*r[i]%R;}
}int main()
{int T;scanf("%d%d",&T,&R);creat_prime();init();while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);printf("%d\n",(ll)N[n]*ans[m]%R);}return 0;
}

虽然可以得到正确的答案，但是经过了自己的推导分析，思维质量比较低。根本原因还是对欧拉函数的理解不够深刻。

让我们再来看看欧拉函数的意义：求出1~n中和n互质的数的个数，那么1 ~kn中与n互质的数的个数有多少呢？答案是k*phi[n]（结合上面推导也可以发现这个）。为什么是这样呢？

互质即意味着gcd(x,n)=1gcd(x,n)=1gcd(x,n)=1，由最大公约数的性质我们得到gcd(x+kn,n)=1gcd(x+kn,n)=1gcd(x+kn,n)=1即这个数在每次kn+1~(k+1)n中都会出现一次，所以答案是k*phi[n]

回到这个问题：题目要求1~N!中和M!互质的数的个数，那么答案应该是N!/M!*phi[M!]，再结合欧拉函数值的求法可以得到上面的过程。

学习了一下递推法求逆元.(递推法求逆元如果不是都要用时间还是慢一点)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<climits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e7+5;
int prime[MAXN];
bool check[MAXN];
int N[MAXN],r[MAXN],ans[MAXN];
int tot;
ll R,n,m;int read()
{int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x;
}void ex_gcd(int a,int b,int& d,int &x,int &y)
{if(!b) {d=a; x=1; y=0;}else{ex_gcd(b,a%b,d,y,x); y-=(a/b)*x;}
}int getine(int a)
{int x,y,d;ex_gcd(a,R,d,x,y); x=(x%R+R)%R;return x;
}void creat_prime()
{tot=0; r[1]=1; N[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){N[i]=(ll)N[i-1]*i%R;if(!check[i]){prime[tot++]=i;//r[i]=getine(i);}for(int j=0;j<tot && prime[j]*i<MAXN;j++){check[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0) break;}}for(int i=2;i<MAXN&&i<R;i++)r[i]=R-(ll)R/i*r[R%i]%R;
}void init()
{ans[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;i++){ans[i]=ans[i-1];if(!check[i]) ans[i]=(ll)ans[i]*(i-1)%R*r[i]%R;}
}int main()
{int T;T=read(); R=read();creat_prime();init();while(T--){n=read(); m=read();printf("%d\n",(ll)N[n]*ans[m]%R);}return 0;
}

BZOJ - 2186 欧拉函数相关推荐

bzoj 2818 欧拉函数
思路:就是对于某个数q,跟他互质的数p,kp和kq的最大公约数是k,那么这个数能组成的答案的数量就是phi[i]乘以某个质数,且乘积小于n 基于这种思路写下这个代码 #include <cstd ...
BZOJ 4802: 欧拉函数（大数因数分解算法 Pollard_rho 和素数测试算法 Miller_Rabin）
Description 已知N,求phi(N) Input 正整数N.N<=10^18 Output 输出phi(N) Sample Input 8 Sample Output 4 Soluti ...
bzoj 4805: 欧拉函数求和
Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 539 Solved: 304 [Submit][Status][Discuss] Descript ...
bzoj 1409 Password 矩阵快速幂+欧拉函数
可以发现,该数组的mi就是斐波那契数列所以要矩阵快速幂搞出第n位但是斐波那契数列上涨的很快,这就需要欧拉定理了 p^phi(q)%q=1(gcd(p,q)==1) p是素数,所以可以用然后需要5 ...
bzoj 3884: 上帝与集合的正确用法（欧拉函数）
3884: 上帝与集合的正确用法 Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 2574 Solved: 1151 [Submit][Status] ...
bzoj 2705: [SDOI2012]Longge的问题（欧拉函数）
2705: [SDOI2012]Longge的问题 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 3077 Solved: 1914 [Submit ...
bzoj 5245: [Fjwc2018]欧拉函数线段树+bitset
题意对于正整数 n,定义欧拉函数 φ(n) 为小于等于 n 且与 n 互质的正整数个数.例如 φ(1) = 1, φ(8) = 4. 给定正整数序列 a1, a2, · · · , an,请依次执行 ...
BZOJ 2818: Gcd区间内最大公约数为素数的对数(欧拉函数的应用)
传送门 2818: Gcd Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 3649 Solved: 1605 [Submit][Status][Dis ...
poj2154-color-polyan次二面体+欧拉函数优化
N<=1e9,O(nlogn)的做法会超时.从枚举置换转变为枚举轮换长度,然后可以利用欧拉函数,把复杂度变为O(√n * logn) 1 /*-------------------------- ...

BZOJ - 2186 欧拉函数

BZOJ - 2186 欧拉函数相关推荐

最新文章

热门文章