Description

已知N，求phi(N)

Input

正整数N。N<=10^18

Output

输出phi(N)

Sample Input

Sample Output

Solution

我们知道 φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋅⋅⋅(1−1pk)φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})···(1-\frac{1}{p_k})φ(n)=n(1−p11)(1−p21)⋅⋅⋅(1−pk1)
其中 n=∏pikin=\prod{p_i^{k_i}}n=∏piki ，pip_ipi 为互不相同的质数。
很自然，我们需要将 nnn 分解质因数，但是 n≤1018n\le10^{18}n≤1018 ，很大。
于是我们可以使用 Pollard_rho 算法。
其主要思想是找到两个数 p,qp,qp,q ，使得 n=p∗qn=p*qn=p∗q ，在不断继续分解。
设递归过程 proc(x)proc(x)proc(x) ，若 xxx 是质数（用 Miller_Rabin 算法判断），则 xxx 是 nnn 的一个质因数，并退出过程。
否则找到一个数 yyy ，使 gcd(x,y)>1gcd(x,y)>1gcd(x,y)>1 ，继续递归 proc(y)proc(y)proc(y) 、proc(xy)proc(\frac{x}{y})proc(yx) 。
那么怎样找到这个数呢？
我们用到了随机化的思想和生日悖论，即找到两个数 x1,x2x1,x2x1,x2 使得 gcd(∣x1−x2∣,x)>1gcd(|x1-x2|,x)>1gcd(∣x1−x2∣,x)>1 ，这样概率就会大得多。
设变换函数 f(x)=(x2+c)%mf(x)=(x^2+c)\%mf(x)=(x2+c)%m ，其中 ccc 是一个随机变量，那么令 x1,x2x1,x2x1,x2 沿着该函数一直走。
可这样走是会成环走回原点的，如下图：

它的形状形似希腊字母 ρρρ ，该算法名即得于此。
判环的话可以用 Floyd 判圈算法：x1=f(x1)x1=f(x1)x1=f(x1)x2=f(f(x2))x2=f(f(x2))x2=f(f(x2))
即 x2x2x2 以两倍速度跑，当 x1=x2x1=x2x1=x2 时重构即可。
可证单 Pollard_rho 算法的期望时间复杂度为 O(n14)O(n^{\frac{1}{4}})O(n41) 。
然而其中还有一个算法 Miller_Rabin （素数测试算法）还没介绍。
我们当然可以 O(n)O(n)O(n) 线筛出素数，但是在这种时间空间都不允许的情况下，如何快速判定单个素数呢？
根据费马小定理，当 nnn 为素数时，有： an−1≡1(modn)a^{n-1}\equiv1(mod\ n)an−1≡1(mod n)
但是当正整数 nnn 满足 an−1≡1(modn)a^{n-1}\equiv1(mod\ n)an−1≡1(mod n) 时不一定 nnn 就是素数（即逆定理不成立）。
但是我们想如果对于很多个 aaa 都满足上式，是否就能说明 nnn 就是素数了呢？
我们发现这样错误率依然很高，这时二次探测定理就派上用场了。
若一个数 xxx 满足： x2≡1(modp)x^2\equiv1(mod\ p)x2≡1(mod p) ，则合法的解就只有 x=1x=1x=1 或 x=p−1x=p-1x=p−1 。
证明很简单，就是因为 x2−1=(x+1)(x−1)x^2-1=(x+1)(x-1)x2−1=(x+1)(x−1) ，合法解显然。
那么 an−1a^{n-1}an−1 就可以拆成 ad∗2ta^{d*2^t}ad∗2t ，其中 ddd 是奇数。
那么我们先用 ada^dad 检测，之后每次平方，若 (ax)2≡1{(a^x)}^2\equiv1(ax)2≡1 则 ax≡1或p−1(modp)a^x\equiv1或p-1(mod\ p)ax≡1或p−1(mod p) 。
如此一来，检测的成功率就大了不少，更容易检测出是否为质数了。
我们只需随机几个 aaa （或拿几个质数）来判断即可，复杂度约为 log23(n)log_2^3(n)log23(n)。
至此，我们就成功地实现了算法 Miller_Rabin 和 Pollard_rho 。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
const int N=65,P=5,prime[P]={2,3,7,61,24251};
LL n,pn;
LL f[N];
inline LL mul(LL a,LL b,LL p)
{a%=p,b%=p;LL c=(LD)a*b/p;c=a*b-c*p;if(c<0) c+=p; elseif(c>p) c-=p;return c;
}
inline LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{LL s=1;while(y){if(y&1) s=mul(s,x,p);x=mul(x,x,p);y>>=1;}return s;
}
inline LL twice(LL a,LL p)
{LL d=p-1;int t=0;while(!(d&1)) d>>=1,t++;//p-1=d*2^tLL x,y;x=y=ksm(a,d,p);while(t--){y=mul(x,x,p);if(y==1 && x^1 && x^p-1) return 0;x=y;}return y;
}
inline LL random(LL up)
{return (LL)rand()*rand()%up;
}
LL gcd(LL x,LL y)
{return !y?x:gcd(y,x%y);
}
inline LL abs(LL x,LL y)
{return x<y?y-x:x-y;
}
inline bool Miller_Rabin(LL x)
{for(int i=0;i<P;i++){if(x==prime[i]) return true;if(twice(prime[i],x)^1) return false;}return true;
}
inline LL trans(LL x,LL y,LL z)
{return (mul(x,x,z)+y)%z;
}
void Pollard_rho(LL m)
{if(Miller_Rabin(m)){f[++f[0]]=m;return;}LL x1=0,x2=0,c=0,p=1;while(p==1 || p==m){x1=trans(x1,c,m);x2=trans(trans(x2,c,m),c,m);while(x1==x2){c=random(m);x1=x2=random(m);x2=trans(x2,c,m);}p=gcd(abs(x1-x2),m);}Pollard_rho(p);Pollard_rho(m/p);
}
inline LL getphi(LL m)
{sort(f+1,f+1+f[0]);f[0]=unique(f+1,f+1+f[0])-(f+1);LL sum=m;for(int i=1;i<=f[0];i++)sum=sum/f[i]*(f[i]-1);return sum;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);if(n==1) return 0&puts("1");srand(time(NULL));Pollard_rho(n);pn=getphi(n);printf("%lld",pn);return 0;
}

BZOJ 4802: 欧拉函数（大数因数分解算法 Pollard_rho 和素数测试算法 Miller_Rabin）相关推荐

BZOJ - 2186 欧拉函数
题目的意思大概是求1~N!中和M!互质的数的个数因为对欧拉函数理解不够深刻所以我是分析得到结果的: 当N<=M的时候显然符合要求的数的个数为0: 当N>M的时候我们要求的是1~N!中不含 ...
bzoj 2818 欧拉函数
思路:就是对于某个数q,跟他互质的数p,kp和kq的最大公约数是k,那么这个数能组成的答案的数量就是phi[i]乘以某个质数,且乘积小于n 基于这种思路写下这个代码 #include <cstd ...
bzoj 4805: 欧拉函数求和
Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 539 Solved: 304 [Submit][Status][Discuss] Descript ...
欧拉函数(Euler_Function)
一.基本概述在数论,对正整数n,欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉 ...
LightOJ 1370 Bi-shoe and Phi-shoe（欧拉函数）
题意:题目给出一个欧拉函数值F(X),让我们求>=这个函数值的最小数N,使得F(N) >= F(X); 分析:这个题目有两种做法.第一种,暴力打出欧拉函数表,然后将它调整成有序的,再建立一 ...
poj1284：欧拉函数+原根
何为原根?由费马小定理可知如果a于p互质则有a^(p-1)≡1(mod p)对于任意的a是不是一定要到p-1次幂才会出现上述情况呢?显然不是,当第一次出现a^k≡1(mod p)时, 记为ep(a ...
NOI数学之提高级:欧拉定理和欧拉函数
欧拉定理详解欧拉定理详解_郝伟老师的博客--大数据.并行计算与人工智能时代-CSDN博客_欧拉定理欧拉函数与欧拉定理欧拉函数与欧拉定理_leader_one的博客-CSDN博客_欧拉定理欧拉定 ...
UVA 11426 GCD - Extreme (II) （欧拉函数）
题目传送门:点击打开链接假设a.b(a<b)互质,那么gcd(a,b)=1,这样当i循环到a.j循环到b时就会向结果中+1,而i循环到2*a.j循环到2*b时就会向结果中+2(gcd(2*a, ...
bzoj 2705: [SDOI2012]Longge的问题（欧拉函数）
2705: [SDOI2012]Longge的问题 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 3077 Solved: 1914 [Submit ...

BZOJ 4802: 欧拉函数（大数因数分解算法 Pollard_rho 和素数测试算法 Miller_Rabin）

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Solution

Code

BZOJ 4802: 欧拉函数（大数因数分解算法 Pollard_rho 和素数测试算法 Miller_Rabin）相关推荐

最新文章

热门文章