【bzoj1705】[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线 dp

题目描述

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上，第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆，只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

输入

第1行: 2个用空格隔开的整数：N和C

第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数：height_i

输出

第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

样例输入

5 2
2
3
5
1
4

样例输出

题解

dp+优化

每个电线杆加高之后的最高高度肯定不超过高度最大值maxh，这是显然的。

首先有最基本的思路：

f[i][j]表示第i个柱子高度为j时的最小花费。

那么就有f[i][j]=(j-h[i])²+min(f[i-1][k]+c*abs(k-j)),k<=maxh

这样时间复杂度是O(nh²)，会超时，肯定要优化。

怎么优化呢？可以把绝对值拆开，于是状态转移方程变为

f[i][j]=(j-h[i])²+min(f[i-1][k]-c*k)+c*j,k<=j

(j-h[i])²+min(f[i-1][k]+c*k)-c*j,k>=j

那么我们只要分别维护f[i-1][k]-c*k,k<=j和f[i-1][k]+c*k,k>=j的最小值即可，可以递推求出。

设min1[i][j]为k<=j时f[i][k]-c*k的最小值，min2[i][j]为k>=j时f[i][k]+c*k的最小值。

那么就有min1[i][j]=min(min1[i][j-1],f[i][j]-c*j)

min2[i][j]=min(min2[i][j+1],f[i][j]+c*j)

以及f[i][j]=(j-h[i])²+min(min1[i-1][j]+c*j,min2[i-1][j]-c*j)。

注意公式中有的是i有的是i-1，不要弄混。

于是时间复杂度被优化到了O(nh)，解决了时间问题。

然而题目空间要求是64MB，这样开二维数组会MLE。

所以我使用了滚动数组黑科技，应该不难理解，注意细节。

听说少开一个二维数组好像也能过，没试过，反正滚动数组应该是最好的做法了吧。

还有柱子高度不能降低，所以注意一下循环起始点和终止点。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f[102] , h[100002] , min1[102] , min2[102];
int main()
{int n , c , m = 0 , i , j , ans = 0x3f3f3f3f;scanf("%d%d" , &n , &c);for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )scanf("%d" , &h[i]) , m = max(m , h[i]);memset(f , 0x3f , sizeof(f));for(i = h[1] ; i <= m ; i ++ )f[i] = (i - h[1]) * (i - h[1]);for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ){memset(min1 , 0x3f , sizeof(min1));memset(min2 , 0x3f , sizeof(min2));for(j = h[i - 1] ; j <= m ; j ++ )min1[j] = min(min1[j - 1] , f[j] - c * j);for(j = m ; j >= 1 ; j -- )min2[j] = min(min2[j + 1] , j >= h[i - 1] ? f[j] + c * j : 0x3f3f3f3f);for(j = h[i] ; j <= m ; j ++ )f[j] = (j - h[i]) * (j - h[i]) + min(min1[j] + c * j , min2[j] - c * j);}for(i = h[n] ; i <= m ; i ++ )ans = min(ans , f[i]);printf("%d\n" , ans);return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6306232.html

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