多重背包——二进制优化/单调队列优化

二进制优化
单调队列优化

代码都是 POJ1742 的，注意，那道题二进制优化会超时。

普通的多重背包式子，物品个数限制：c[i]c[i]c[i]，单个物品价值 w[i]w[i]w[i]，每个物品的体积 v[i]v[i]v[i]

第一维是前 iii 个物品，第二维是背包容量。
dp[i,j]=max⁡(dp[i][j],dp[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i])0≤k≤c[i]dp[i,j]=\max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])\quad 0\le k\le c[i] dp[i,j]=max(dp[i][j],dp[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i])0≤k≤c[i]

二进制优化

因为每个数都可以被表示成二进制形式。

二进制优化就是将物品的个数 c[i]c[i]c[i] 拆分成二进制形式，将多个物品捆绑成 2i2^i2i 个形式。

然后通过捆绑后的多重组合，能够组合出原来 0∼c[i]0\sim c[i]0∼c[i] 的所有选择。

i.e. 物品个数为 121212，就拆分成 1(20)+2(21)+4(22)+51(2^0)+2(2^1)+4(2^2)+51(20)+2(21)+4(22)+5，因为剩下的不足捆绑，就单独拎出来处理。

会发现这四个数就能组合出选择 0∼120\sim 120∼12 个物品的情况。

这就将第三维度枚举放的物品个数从 O(c[i])O(c[i])O(c[i]) 降到了 O(log⁡c[i])O(\log c[i])O(logc[i])。

如果将所有信息看成同阶，则复杂度为 O(n2log⁡n)O(n^2\log n)O(n2logn)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 105
#define maxm 100005
int f[maxm], a[maxn], c[maxn];
int n, m;int main() {while( scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) );f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int k = 1;while( c[i] >= k ) {c[i] -= k;for( int j = m;j >= a[i] * k;j -- )f[j] |= f[j - a[i] * k];k <<= 1;}if( c[i] ) {for( int j = m;j >= a[i] * c[i];j -- )f[j] |= f[j - a[i] * c[i]];}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0;
}

单调队列优化

因为某种物品尽管有很多个，但是体积是一样的。

每次都会占用背包的 v[i]v[i]v[i] 体积。

所以如果原来背包的容量为 jjj，那么只会转移给 j+v[i],j+v[i]∗2,...,j+v[i]∗c[i]j+v[i],j+v[i]*2,...,j+v[i]*c[i]j+v[i],j+v[i]∗2,...,j+v[i]∗c[i]，这些容量在 %v[i]\% v[i]%v[i] 下同余。

将背包容量 jjj，按照 %v[i]\% v[i]%v[i] 的余数分类考虑，显然两个不同的余数是不会相互转移的。

式子化地，令 a=j/v[i],b=j%v[i]⇒j=a∗v[i]+ba=j/v[i],b=j\%v[i]\Rightarrow j=a*v[i]+ba=j/v[i],b=j%v[i]⇒j=a∗v[i]+b

f[i][j]=max⁡{f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i]}⇒f[i][j]=max⁡{f[i−1][(a−k)∗v[i]+b]+k∗w[i]}f[i][j] = \max\Big\{f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]\Big\}\Rightarrow f[i][j]=\max\Big\{f[i-1][(a-k)*v[i]+b]+k*w[i]\Big\}f[i][j]=max{f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i]}⇒f[i][j]=max{f[i−1][(a−k)∗v[i]+b]+k∗w[i]}

k(0≤k≤c[i])k\ (0\le k\le c[i])k (0≤k≤c[i]) 反正都是枚举的变量，不妨令 k=a−kk=a-kk=a−k

则 f[i][j]=max⁡{f[i−1][k∗v[i]+b]+(a−k)∗w[i]}f[i][j]=\max\Big\{f[i-1][k*v[i]+b]+(a-k)*w[i]\Big\}f[i][j]=max{f[i−1][k∗v[i]+b]+(a−k)∗w[i]}

整理得，f[i][j]=max⁡{f[i−1][k∗v[i]+b]−k∗w[i]}+a∗w[i](a−c[i]≤k≤a)f[i][j]=\max\Big\{f[i-1][k*v[i]+b]-k*w[i]\Big\}+a*w[i]\quad (a-c[i]\le k\le a)f[i][j]=max{f[i−1][k∗v[i]+b]−k∗w[i]}+a∗w[i](a−c[i]≤k≤a)

换种形式表达 kkk 的范围：j/v[i]−c[i]]≤k≤j/v[i]j/v[i]-c[i]]\le k\le j/v[i]j/v[i]−c[i]]≤k≤j/v[i]

是关于 jjj 的不减函数，一段区间，所以可以用单调队列优化。

时间复杂度是 O(nV)O(nV)O(nV)，就没有 logloglog 了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 100005
int n, m, head, tail;
int f[maxn], a[maxn], c[maxn], q[maxn];int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) ); f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( c[i] == 1 ) {for( int j = m;j >= a[i];j -- ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}if( a[i] * c[i] >= m ) {for( int j = a[i];j <= m;j ++ ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}for( int j = 0;j < a[i];j ++ ) {head = 1, tail = 0;for( int k = j;k <= m;k += a[i] ) {while( head <= tail and q[head] < k - a[i] * c[i] ) head ++;if( ! f[k] ) f[k] |= ( head <= tail );else q[++ tail] = k;}}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0;
}

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