信号复数及希尔伯特变换的理解
一般的硬件电路都不支持复数运算，一般的方法是把实部，虚部分别方在不同的存储区域，运算的时候分别按照实虚部运算！对此，复数只是再学习过程中的一个概念，我们可以在做理论（比如在纸上推导公式）的时候使用，到了实际的应用（在硬件电路里编程实现我们前面推导的理论）必须把一个复数换成两个实数，分别按照实数的运算法则运算，只是要时刻记住哪个结果是实部，哪个是虚部。现实中存在的信号都是实信号，但是为了在信号处理中分析方便，就会将信号变为相应的复信号，有利于提取信号的幅值与瞬时频率。
信号引入复数是幅值和相位的表示，当计算时需要将两部分分开计算 。
希尔伯特变换是使用信号复数的特点，调制后可以将负频域信号消除，即单边带调制，这样有利于提升频带的利用率。
原始信号和h(t)做卷积的传递函数为
其傅里叶变换为
其中sgn(w)为符号函数
对原始信号做1到4次Hilbert变换的频谱示意图如图所示，希尔伯特变换的作用上是一个90移相器，它将信号中的正频率部分相移-90°，相当于顺时针转90°；将信号中的负频率部分相移90°，相当于逆时针转90°。希尔伯特变换不会改变实信号x(t)的振幅和能量，仅仅在相位上发生了改变分而已。
为了解决滤波法对单边带调制的问题，即边带滤波器的制作不具有陡峭的截止特性，有一定的过渡带。但是这个问题可借助希尔伯特变换对信号进行调制来解决。
有些在调制时不用单边带调制，发送时用双边带信号，为了接收时不用滤波器，使用相干解调方法。
假设调制信号为
其中ω0需要大于a(t)的最高频率，否则会导致原信号的失真。调制信号的解析信号表达式为
解析信号只有正频率，消除了负频率，解析信号再乘以一个信号就能得到原信号
其频域的变化大概是这样的，原低频信号a(t)的频谱为
其调制之后的调制信号f(t)=a(t)cosω0t的频谱为
接收者接收到以上信号f(t)并取其解析信号z(t)，其频谱为：
再将解析信号z(t)乘以e^-jω0t得到原信号a(t)：
参考：https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/79366444
https://www.bilibili.com/read/cv2793412/
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