希尔伯特变换的时频理解与应用

时频分析

首先看一下希尔伯特变换的定义为：

与卷积的概念进行对比，可以发现，上面的Hilbert变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是

因此，Hilbert变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器，或者一个系统，这个系统的冲击响应为h(t)。

上面是希尔伯特的时域表示与意义，下面是频域的分析：

上式的推导主要用到的是傅里叶变换的对偶性质，从频域结果中可以看出，在 w>0 时，频域部分乘以 -j ，相当于把相位移动 -90°；在 w<0 时，频域部分是乘以 j ，相位移动 90°，下面的图更形象的表达了希尔伯特变换的过程，下图是进行了四次希尔伯特变换：

具体看一个例子：

方法二是通过频域进行计算，再通过傅里叶反变换得到 cos(wt) 的希尔伯特变换结果为 sin(wt) ，方法一是通过时域的相移得出来的。通过上面的例子可以得出结论，对于周期信号而言，希尔伯特变换就是对信号延时 1/4 个周期。

基本性质

函数进行希尔伯特变换，再进行希尔伯特逆变换，变回原来信号。

进行两次希尔伯特变换之后，信号直接变为反相信号。

希尔伯特变换不改变信号的幅值，只对信号的相位有影响。也就是说希尔伯特滤波器是一个全通滤波器，信号的幅值不变。

解析信号

其中 f(t) 只能是实信号，不能是复信号。

有关于实信号与复信号的关系请参照下面的链接：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5dfd405d0101iyq7.html
（此博文传达出的中心思想就是现实中存在的信号都是实信号，但是为了在信号处理中分析方便，就会将信号变为相应的复信号，有利于提取信号的幅值与瞬时频率）

由上图中看出，解析信号只包含正频率，没有负频率，也就是说如果一个信号只在频率大于零的时候有分量，则这个信号一定能写成解析信号的形式，对这个信号求其实部一定就是 f(t) ，虚部一定就是 f(t) 的希尔伯特变换。

希尔伯特变换的意义

将实数信号变换成解析信号的结果就是，把一个一维的信号变成了二维复平面上的信号，复数的模和幅角代表了信号的幅度和相位。

这样看来，似乎复数信号才是完整的，而实信号只是在复平面的实轴上的一个投影。我们知道，解析信号可以计算包络（瞬时振幅）和瞬时相位。在上图中可以看到，实际上我们计算的包络就是黑色的线围成的立体图形的边界在实部的投影，而计算这个边的投影也很简单，就是在复平面上的螺旋线中的每一个点的模值，也就是A(t) = sqrt(x^2(t) + Hilbert(x(t))^2)，而瞬时相位就是虚部（Hilbert变换后的）和实部（原始信号）在某一时间点的比值的arctan，瞬时频率就是它的导数。

以上内容大部分来自于下面的这个视频，我只是对图片加以说明。
https://www.bilibili.com/video/BV1bJ411w7GP/