梯度、散度、旋度与麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组在大学物理是比较难以理解的一组方程。它们的推导过程与梯度、散度、与旋度具有密切的关系。本文主要通过对三维空间中梯度、散度与旋度的解释来分析麦克斯韦方程组。为了方便表示，这里f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)表示一个含有三个变量x,y,z的一个函数，并且设f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2f(x,y,z)=x2+y2+z2。F⃗=<P,Q,R>\vec{F}=<P,Q,R>F=<P,Q,R>表示空间中的矢量场。可以是梯度场、速度场、力场等。这里就假设是函数f(x,y,z)对应的梯度场。

0. ▽\triangledown▽ 算子

又叫“del”算子，即<∂∂x,∂∂y,∂∂z><\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}><∂x∂,∂y∂,∂z∂>。可以理解为一个符号向量，向量里的元素是偏微分运算符号，没有任何具体意义，只是一个表示方法。

1. 梯度、散度、旋度

有了▽\triangledown▽算子，梯度、散度、旋度都可以用▽\triangledown▽向量来表示。

梯度 gradient

函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)(标量)的梯度可以理解为▽\triangledown▽向量与函数的乘积,即：
grad(f)=▽f=<∂∂x,∂∂y,∂∂z>f=<∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z>grad(f)=\triangledown f= <\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}>f=<\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}>grad(f)=▽f=<∂x∂,∂y∂,∂z∂>f=<∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f>
针对一开始给出的例子，可知： ▽f=<2x,2y,2z>\triangledown f=<2x,2y,2z>▽f=<2x,2y,2z>

散度 divergence

散度是表示矢量扩散程度的一个量，是对场的一个运算。散度可以表示为▽\triangledown▽向量与矢量场的点积，这里以F⃗=<P,Q,R>\vec{F}=<P,Q,R>F=<P,Q,R>为例子，则：
div(F⃗)=▽⋅F⃗=<∂∂x,∂∂y,∂∂z>⋅<P,Q,R>=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdiv(\vec{F})=\triangledown\cdot\vec{F}=<\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}>\cdot<P, Q, R>=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}div(F)=▽⋅F=<∂x∂,∂y∂,∂z∂>⋅<P,Q,R>=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R
假如F⃗\vec{F}F刚好是f(x,y,z)对应的梯度场，即F⃗=<2x,2y,2z>\vec{F}=<2x,2y,2z>F=<2x,2y,2z>则：
div(F⃗)=2+2+2=6div(\vec{F})=2+2+2=6div(F)=2+2+2=6

旋度 curl

旋度表示矢量场的选择程度和方向的一个矢量。可以表示为▽\triangledown▽向量与矢量场的叉积。即：
curl(F⃗)=▽×F⃗=∣i^j^k^∂∂x∂∂x∂∂zPQR∣=<Ry−Qz,Pz−Rx,Qx−Py>curl(\vec{F})=\triangledown\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}=<R_{y}-Q_{z}, P_{z}-R_{x}, Q_{x}-P_{y}>curl(F)=▽×F=∣∣∣∣∣∣i^∂x∂Pj^∂x∂Qk^∂z∂R∣∣∣∣∣∣=<Ry−Qz,Pz−Rx,Qx−Py>
假如此处F⃗=▽f\vec{F}=\triangledown fF=▽f，则：
curl(F⃗)=0curl (\vec{F})=0curl(F)=0
推论：假如F⃗\vec{F}F是梯度，则curlF⃗curl{\vec{F}}curlF=0

2. Gauss-Green 定理与Stokes 定理

线积分

上图中，F⃗\vec{F}F是空间中的矢量场， C是含有方向的线段。则F⃗\vec{F}F对C的积分(理解为物理上的功)可以表示为：
∫CF⃗dr⃗=∫CPdx+Qdy+Rdz\int_{C}\vec{F}d\vec{r}=\int_{C}Pdx+Qdy+Rdz∫CFdr=∫CPdx+Qdy+Rdz

面积分

上图中，S表示空间中一个曲面，n^\hat{n}n^表示曲面的法向量(两个方向中选一个)。则矢量F⃗\vec{F}F对曲面S的积分表示通量（Flux），即：
Flux=∬SF⃗⋅n^dSFlux=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}dSFlux=∬SF⋅n^dS

Gauss-Green 定理

如果S是空间中的封闭曲面，包裹了一个区域D，法向量n^\hat{n}n^向外，F⃗\vec{F}F在D的每一个区域都定义且可微，则下式成立：
∯SF⃗⋅dS⃗=∭Ddiv(F⃗)dV\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_Ddiv(\vec{F})dV∬SF⋅dS=∭Ddiv(F)dV
因此，Gauss-Green定理又叫散度定理。

Stokes 定理

如果C是一个封闭曲线，S是以C为边的任意曲面，F⃗\vec{F}F在S上有定义，n^\hat{n}n^为满足右手定则方向向外，则有如下公式：
∮CF⃗⋅dr⃗=∬Scurl(F⃗)⋅n^dS\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_Scurl(\vec{F})\cdot \hat{n}dS∮CF⋅dr=∬Scurl(F)⋅n^dS
即：
∮CF⃗⋅dr⃗=∬S(▽×F⃗)⋅n^dS\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\triangledown\times\vec{F})\cdot \hat{n}dS∮CF⋅dr=∬S(▽×F)⋅n^dS

推论：如果F⃗\vec{F}F是梯度场，则线积分是路径无关的。

例如，在上图中，
∫C1F⃗⋅dr⃗−∫C2F⃗⋅dr⃗=∯C:C=C1−C2F⃗⋅dr⃗=stokes∬Scurl(F⃗)⋅dS⃗\int_{C1}\vec{F}\cdot d\vec{r}-\int_{C2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oiint\limits_{C:C=C1-C2}\vec{F}\cdot d\vec{r} \xlongequal{stokes}\iint_Scurl(\vec{F})\cdot d\vec{S}∫C1F⋅dr−∫C2F⋅dr=C:C=C1−C2∬F⋅drstokes∬Scurl(F)⋅dS
因为梯度场中的curl=0,所以上式为0，即∫C1F⃗⋅dr⃗=∫C2F⃗⋅dr⃗\int_{C1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C2}\vec{F}\cdot d\vec{r}∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr

3. 麦克斯韦方程组

有了上述知识，麦克斯韦方程组就更容易理解。就是Gauss-Green定理和Stokes定理的运用。想要了解的更详细，请参考MIT关于多变量微积分和物理的公开课。