戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第11页

既然加法已经定义，那么其他的基础运算就可以定义了。即，减、乘、除、乘方、根，对数，
这样我们就到了对加减乘除等这些基本运算的真正证明（如，(√2)⋅(√3)=(√6)),据我所知，这
些证明此前尚未建立。更复杂的运算定义会长的令人恐惧，虽然这些定义都是其固有的，但
是大部分是可以避免的。与之相关的一个非常有用的概念是区间，即，一个有理数组成的系
统A具有下面的特点，如果a和a′在A中，那么所有位于a和a′之间的有理数，都包含在A内。包
含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a1<A含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a_{1}<A含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a1<A
内的所有数，存在有理数a2>A内的所有数，那么A称为闭区间。可知，存内的所有数，存在有理数a_{2}>A内的所有数，那么A称为闭区间。可知，存内的所有数，存在有理数a2>A内的所有数，那么A称为闭区间。可知，存
在无穷多这样的a1和a2；整个域R被分为三部分，A1，A，A2，于是有了两在无穷多这样的a_{1}和a_{2}；整个域R被分为三部分，A_{1}，A，A_{2}，于是有了两在无穷多这样的a1和a2；整个域R被分为三部分，A1，A，A2，于是有了两
个数字，a1，a2，既可以是有理数，也可以是无理数，称为区间的下限和上个数字，a_{1}，a_{2}，既可以是有理数，也可以是无理数，称为区间的下限和上个数字，a1，a2，既可以是有理数，也可以是无理数，称为区间的下限和上
限。下限a1由产生第一类A1的分割产生，上限由产生第二类A2的分割，称限。下限a_{1}由产生第一类A_{1}的分割产生，上限由产生第二类A_{2}的分割，称限。下限a1由产生第一类A1的分割产生，上限由产生第二类A2的分割，称
每个位于a1和a2之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数，都是B内的数，每个位于a_{1}和a_{2}之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数，都是B内的数，每个位于a1和a2之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数，都是B内的数，
称A为B的一部分。称A为B的一部分。称A为B的一部分。
当我们试图把有理数的大量算术定理（如乘法结合律(a+b)c=ac+bc）\quad\quad 当我们试图把有理数的大量算术定理（如乘法结合律(a+b)c=ac+bc）当我们试图把有理数的大量算术定理（如乘法结合律(a+b)c=ac+bc）
应用于任意实数时，那些冗长的考虑就会冒出来。但是，实际并非如此。很容易看出，这些
操作都简化为某种连续性的体现。上述讨论可以归纳为下面的通用定理:
“若数字λ是α,β,γ等数字运算的结果，且λ位于区间L内，那么可以得到A，\quad\quad “若数字\lambda 是\alpha,\beta,\gamma等数字运算的结果，且\lambda位于区间L内，那么可以得到A，“若数字λ是α,β,γ等数字运算的结果，且λ位于区间L内，那么可以得到A，
B，C等区间，分别包含数字α,β,γ等数字，这样，这些数字的运算，转为区B，C等区间，分别包含数字\alpha,\beta,\gamma等数字，这样，这些数字的运算，转为区B，C等区间，分别包含数字α,β,γ等数字，这样，这些数字的运算，转为区
间的运算，运算结果是区间L中的一个数字”。如此笨拙的过程，让我们不得不寻找一个方法简
化这些表达式。于是，无极变幅，函数，极限值，这些概念被引入。即使是最简单的算术运算
最好也建立在这些概念之上，这里不再深入讨论。

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