戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第7页

−−−−−−−以下为原文第7页内容−−−−−−−\quad\quad\quad\quad -------以下为原文第7页内容-------−−−−−−−以下为原文第7页内容−−−−−−−
并且我们可以假设u是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以D后，是一个正数t的平方。因为显然并且我们可以假设u是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以D后，是一个正数t的平方。因为显然并且我们可以假设u是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以D后，是一个正数t的平方。因为显然
λu<t<(λ+1)u,\quad\quad\quad \lambda u <t<(\lambda +1)u,λu<t<(λ+1)u,
数字u′=t−λu是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设数字u'=t-\lambda u 是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设数字u′=t−λu是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设
t′=Du−λt,\quad\quad\quad t'=Du-\lambda t,t′=Du−λt,
t′同样是一个正整数，并且我们有t'同样是一个正整数，并且我们有t′同样是一个正整数，并且我们有
t′2−Du=(λ2−D)(t2−Du2)=0\quad\quad t'^2-Du=(\lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0t′2−Du=(λ2−D)(t2−Du2)=0
这显然与我们对u的假设矛盾。这显然与我们对u的假设矛盾。这显然与我们对u的假设矛盾。
\quad\quad这样，由D产生的分割中的第一类和第二类中的每个有理数x的平方或者<D,或者>D。由此可见，A1中无最大数，A2中无最小数。因为我们可以设
y=x(x2+3D)3x2+Dy=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}y=3x2+Dx(x2+3D)
我们得到
y−x=2x(D−x2)3x2+Dy-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}y−x=3x2+D2x(D−x2)
并且
y2−D=(x2−D)3(3x2+D)2y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}y2−D=(3x2+D)2(x2−D)3
\quad\quad此时，如果x是属于A1A_{1}A1的正数,那么x2x^2x2<D,此时y>x,且y2y^2y2<D。则y属于A1A_{1}A1。但是，如果我们假设x属于A2A_{2}A2,则有x2x^2x2>D,y>0,于是y<x,y>0,且y2y^2y2>D。因此，y属于A2A_{2}A2。由此可见，这个分割是由非有理数产生的。
\quad\quad并非所有的分割都是由有理数产生这个事实，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的。
\quad\quad只要我们遇到一个由非有理数产生的分割，我们就创造出了一个新的，一个无理数α\alphaα,我们认为其完全由分割cut(A1,A2)产生；我们应该说这个新数α\alphaα对应于这个分割，或者说它产生了这个分割。从现在开始，每一个确定的分割都对应于一个确定的有理数或无理数，只要两个分割本质上不同，我们就说产生这两个分割的数不等。
\quad\quad为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由α\alphaα和β\betaβ产生的两个分割(A1,A2)(A_{1},A_{2})(A1,A2)
和(B1,B2)(B_{1},B_{2})(B1,B2)中间的关系。显然，当分割(A1,A2)(A_{1},A_{2})(A1,A2)中的一个，例如A1A_{1}A1给定之后，这个分割就完全确定了，因为A2A_{2}A2就是有理数去掉A1A_{1}A1后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a1a_{1}a1是第一类的元素，那么所有小于a1a_{1}a1的数，都包含在第一类中。（接下页）

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