戴德金定理-我自己做的中文翻译第13页
---------------------原文第13页-------------------
那么必然存在一个确定的数α产生了实数系统R的这个分割(δ1,δ2),我称这个α为x的上限,
它总是有限的。类似的方式,作为变量x的变化的结果,系统IR(这里用IR表示实数域)的第
二个分割(B1,B2)产生了。在x变化过程中,最终比x小的那些数β1(例如,二个分割(B_{1},B_{2} )产生了。在x变化过程中,最终比x小的那些数β_{1}(例如,二个分割(B1,B2)产生了。在x变化过程中,最终比x小的那些数β1(例如,
a−δ)分配给B1,每个其他的数β2,分配给B2,有这样的特性:x永远不会最a−δ)分配给B_{1},每个其他的数β_{2},分配给B_{2},有这样的特性:x永远不会最a−δ)分配给B1,每个其他的数β2,分配给B2,有这样的特性:x永远不会最
终大于这些β2;因此,x无穷多次变得小于β2,产生这个分割的β我称之为终大于这些β2;因此,x无穷多次变得小于β2,产生这个分割的β我称之为终大于这些β2;因此,x无穷多次变得小于β2,产生这个分割的β我称之为
x的下限值。α和β有这样的特征:若ϵ是任意小的正数,最终会有x<α+ϵ和x>β−ϵ而不会
发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ(译注:因为α−ϵ属于△1,若最终x<α−ϵ,发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ(译注:因为α−ϵ属于△_{1},若最终x<α−ϵ,发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ(译注:因为α−ϵ属于△1,若最终x<α−ϵ,
则α−ϵ属于△2△_{2}△2,矛盾;β+ϵ属于B2B_{2}B2,若x最终>β+ϵ,则β+ϵ属于B1B_{1}B1,矛盾)。这样就只有
两种可能,若α和β是两个不相同的数,那么就只能是α>β,因为α2\alpha_{2}α2持续>β1β_{1}β1;变量x会
左右摇摆(根据前述,“不会发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ”,而β+ϵ和α−ϵ的距离为α-β-2ϵ),
不管这个过程如何进行,最终会出现x的变动值超过(α−β)−2ϵ。这与我一开始的假设矛盾。
这样就只剩下最后一种情况,α=β,而且我们已经发现,不管任意指定的ϵ多么
小,我们最终总能得到x<α+ϵ和x>β−ϵ ,x靠近极限值α。证毕。
这些例子足以表明连续性法则和无穷小分析之间的联系。
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