矩阵知识：线性变换、相似矩阵、对角矩阵、逆矩阵

同济版线性代数中对相似矩阵进行了如下的定义：

设A,BA,BA,B都是nnn阶矩阵，若有可逆矩阵PPP，使P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称BBB是AAA的相似矩阵，或说AAA与BBB相似。

接下来对相似矩阵进行具体解释

1 线性变换

1.1 线性函数

函数直观地将，就是将xxx轴上的点映射到曲线上（下面是函数y=sin⁡(x)y=\sin(x)y=sin(x)的图像，这就是将xxx轴上的点映射到了正弦曲线上）：

例如y=xy=xy=x这样将xxx轴上点映射到直线的函数，我们称为线性函数：

1.2 从线性函数到线性变换

线性函数其实就是线性变换，为了看起来更像线性变换，这里换一种标记方法：

之前的y=xy=xy=x，可以认为是把(a,0)(a,0)(a,0)映射到了(0,a)(0,a)(0,a)点，这被称为线性变换T，记作：

矩阵的形式如下：

这里将(a,0)(a,0)(a,0)替换为平面内所有的点(a,b)(a,b)(a,b)，我们就可以对整个平面做变换，该线性变换记作：

写成矩阵的形式：

我们记：

这时可以得到一个更简便的记法（这种形式看起来更像线性方程y=axy=axy=ax）：

我们已经假定y→,x→\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}y,x指代了平面上所有的点，所以干脆可以更简化为：

线性变换通过矩阵A来表示

而y=x不过是这个A的一个特殊情况

1.4 矩阵A与基

刚才的结论其实是不完整的，还缺少了一个信息：
y=x是基于直角坐标系的，通过这个转换：

得到的A也是基于直角坐标系的。
只是在线性变换中，我们不称之为直角坐标系，而是叫做标准正交基。
标准正交基是：

它们张成的线性空间如下：

这里，对前面的结论进行一个补充：

线性变换通过指定基下的矩阵A来表示

注意这个”指定基“，这说明基不一定固定为正交基，由此引出相似矩阵的概念。

二、相似矩阵

2.1 定义：

设A,BA,BA,B都是n阶矩阵，若有n阶可逆矩阵PPP，使：

则称BBB是AAA的相似矩阵，或者说AAA和BBB相似。

2.2 解释

那怎么得到不同基下的矩阵呢? 这里看下具体的变换细节。

2.2.1 细节

首先看一个图，下面给出关于图的解释：

有两个基：V1:{i→,j→}V_1:\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}V1:{i,j}和{i′→,j′→}\{\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}\}{i′,j′}
V1→V2V1\to V2V1→V2，可以通过P−1P^{-1}P−1转换
V2→V1V2\to V1V2→V1，可以通过PPP转换

整个转换的核心如下：

对上面的图进行解释：

v′→\overrightarrow{v'}v′是V2V_2V2的点
v′→\overrightarrow{v'}v′通过PPP变为V1V_1V1下的点，即Pv′→P\overrightarrow{v'}Pv′
在V1V_1V1下，通过矩阵AAA完成线性变换，即APv′→AP\overrightarrow{v'}APv′
通过P−1P^{-1}P−1变回V2V_2V2下的点，即P−1APv′→P^{-1}AP\overrightarrow{v'}P−1APv′

综上，我们可以有：

我们可以认为：

那么B和A互为相似矩阵。

这里还有一个细节：V2→V1V_2\to V_1V2→V1的转换矩阵PPP是什么？
首先看空间中的一个点，假设为mmm点：

这时我们知道，不管有没有基，这个点都是客观存在的，然后给出其在i′→,j′→\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}i′,j′的坐标v′→\overrightarrow{v'}v′：

为了表示v′→\overrightarrow{v'}v′是i′→,j′→\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}i′,j′下的坐标，我们写成这样：

如果我们知道了i′→,j′→\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}i′,j′在i→,j→\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}i,j下的坐标：

那么有：
v′→=ai′→+j′→=a(ci→+dj→)+b(ei→+fj→)\overrightarrow{v'}=a\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{j'}=a(c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j})+b(e\overrightarrow{i}+f\overrightarrow{j})v′=ai′+j′=a(ci+dj)+b(ei+fj)

此时，实际上m点的坐标，已经变到了i→,j→\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}i,j下的v→\overrightarrow{v}v：

继续推导：

所以P其实就是：

这里的i′→,j′→\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}i′,j′是在i→,j→\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}i,j下的坐标。

2.2.2 对角矩阵

为什么我们需要相似矩阵呢？
比如A这个矩阵：

可以这样分解：

其中：

B就是对角矩阵，看上去好看很多，相似变换其实就是坐标转换，转换到一个更方便计算的简单坐标系。

https://www.matongxue.com/madocs/491.html

2.3 相似的性质：

反身性：A∽A(I−1AI=A)A\backsim A\quad(I^{-1}AI=A)A∽A(I−1AI=A)
对称性：A∽B⇒B∽AA\backsim B\rArr B\backsim AA∽B⇒B∽A
(A∽B⇒P−1AP=B⇒A=(P−1)−1BP−1)(A\backsim B\rArr P^{-1}AP=B\rArr A=(P^{-1})^{-1}BP^{-1})(A∽B⇒P−1AP=B⇒A=(P−1)−1BP−1)
传递性：A∽B,B∽C,⇒A∽CA\backsim B,B\backsim C,\rArr A\backsim CA∽B,B∽C,⇒A∽C
P1−1AP1=B,P2−1BP2=CP_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=CP1−1AP1=B,P2−1BP2=C
∴P2−1P1−1AP2P1=C\therefore P_2^{-1}P_1^{-1}AP_2P_1=C∴P2−1P1−1AP2P1=C
∴(P1P2)−1A(P1P2)=C\therefore (P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2)=C∴(P1P2)−1A(P1P2)=C
相似矩阵的秩相同

三、对角矩阵

3.1 矩阵可对角化

如果矩阵AAA能与对角矩阵相似，则称AAA可对角化
例子：
设A=[1122],P=[1−121]A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}A=[1212],P=[12−11] ，则有：
P−1AP=[3000]P^{-1}AP=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}P−1AP=[3000]
即：A∽[3000]A\backsim\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}A∽[3000]
从而AAA可对角化

3.2 可对角化的条件

3.2.1 定理1：n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

证明：
必要性：
如果A可对角化，则存在可逆矩阵P，使得：
A=[λ100…00λ20…0⋮……⋱⋮000…λn]A=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&\dots&0\\0&\lambda_2&0&\dots&0\\\vdots&\dots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮00λ2…000…0……⋱…00⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤

将P按列分块得到P=[X1,X2,...,Xn]P=[X_1,X_2,...,X_n]P=[X1,X2,...,Xn]，从而有：

AP=A[X1,X2,...,Xn]=P[λ10…00λ2…0⋮…⋱⋮00…λn]=[X1,X2,...,Xn][λ10…00λ2…0⋮…⋱⋮00…λn]AP=A[X_1,X_2,...,X_n]=P\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}=[X_1,X_2,...,X_n]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}AP=A[X1,X2,...,Xn]=P⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮00λ2…0……⋱…00⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤=[X1,X2,...,Xn]⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮00λ2…0……⋱…00⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤
因此有：
AXi=λiXi(i=1,2,...,n)AX_i=\lambda_iX_i\quad(i=1,2,...,n)AXi=λiXi(i=1,2,...,n)，所以XiX_iXi是A的属于特征值λi\lambda_iλi的特征向量，又由P可逆，知X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn线性无关，故A有n个线性无关的特征向量。

3.2.2 定理2：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的

3.2.3 推论1：若n阶矩阵有n个互不相同的特征值λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1,λ2,...,λn，则A可对角化，且：

3.2.4 定理三

https://wenku.baidu.com/view/58dcd9d376eeaeaad1f33024.html

3.3 对角矩阵的性质

3.3.1 对角矩阵的秩等于其对角线上非零元素的个数。

四、可逆矩阵

4.1 定义

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得：
AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I
则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A−1=BA^{-1}=BA−1=B

单位矩阵I：
I−1=II^{-1}=II−1=I
(kI)−1=1kI,(k≠0)(kI)^{-1}={1\over k}I,(k\ne0)(kI)−1=k1I,(k=0)

对角矩阵：

D=[d10…00d2…0⋮…⋱⋮00…dn],(d1,d2,...dn≠0);D−1=[1d10…001d2…0⋮…⋱⋮00…1dn]\begin{bmatrix}d_1&0&\dots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{bmatrix},(d_1,d_2,...d_n\ne0);\quad D^{-1}=\begin{bmatrix}{1\over d_1}&0&\dots&0\\0&{1\over d_2}&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{1\over d_n}\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡d10⋮00d2…0……⋱…00⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤,(d1,d2,...dn=0);D−1=⎣⎢⎢⎢⎡d110⋮00d21…0……⋱…00⋮dn1⎦⎥⎥⎥⎤

4.2 定理

4.2.1 定理1：设A可逆，则它的逆是唯一的

证明：
设有B和C满足：AB=BA=I，AC=CA=I
则：B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

4.2.2 定理2：设A为n阶矩阵，则下列命题等价：

A是可逆的
AX=0只有零解
1→2：设A是可逆的，且X是AX=0的解，则：1\to2：设A是可逆的，且X是AX=0的解，则：1→2：设A是可逆的，且X是AX=0的解，则：
X=IX=(A−1A)X=A−1(AX)=A−10=0X=IX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}0=0X=IX=(A−1A)X=A−1(AX)=A−10=0
所以，AX=0只有零解
A与I行等价
2→3：A经过初等行变换到B（行阶梯矩阵）2\to3：A经过初等行变换到B（行阶梯矩阵）2→3：A经过初等行变换到B（行阶梯矩阵）
BX=0只有零解，B的对角元均非零，否则B的最后一行的元全为零，则BX=0有非零解（矛盾）BX=0只有零解，B的对角元均非零，否则B的最后一行的元全为零，则BX=0有非零解（矛盾）BX=0只有零解，B的对角元均非零，否则B的最后一行的元全为零，则BX=0有非零解（矛盾）
则，B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I则，B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I则，B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I
A可表为有限个初等矩阵的乘积
3→4：由3，可得A可经初等行变换得到I，所以存在初等矩阵E1,E2,...Ek，使得Ek,...E1A=I3\to4：由3，可得A可经初等行变换得到I，所以存在初等矩阵E_1,E_2,...E_k，使得E_k,...E_1A=I3→4：由3，可得A可经初等行变换得到I，所以存在初等矩阵E1,E2,...Ek，使得Ek,...E1A=I
A=E1−1....Ek−1I=E1−1...Ek−1A=E_1^{-1}....E_k^{-1}I=E_1^{-1}...E_k^{-1}A=E1−1....Ek−1I=E1−1...Ek−1

4.2.3 推论：设A为n阶矩阵，则AX=b有唯一解的充要条件是A可逆

证明：
充分性：
AX=b有唯一解：X=A−1bAX=b有唯一解：X=A^{-1}bAX=b有唯一解：X=A−1b
必要性：
设AX=b有唯一解X，但A不可逆设AX=b有唯一解X，但A不可逆设AX=b有唯一解X，但A不可逆
A不可逆⇒AX=0有非零解ZA不可逆\rArr AX=0有非零解ZA不可逆⇒AX=0有非零解Z
令Y=X+Z令Y=X+Z令Y=X+Z
AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=bAY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=bAY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b
则Y为AX=b的解，矛盾则Y为AX=b的解，矛盾则Y为AX=b的解，矛盾
所以可得A可逆

4.3 性质

设A，B皆为n阶可逆矩阵，数λ≠0\lambda\ne0λ=0，则：

A−1A^{-1}A−1可逆，且(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A
λA\lambda AλA可逆，且(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1}={1\over\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1A−1
ABABAB可逆，且(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=I
ATA^TAT可逆，且(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
AT(A−1)T=(A−1A)T=IA^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=IAT(A−1)T=(A−1A)T=I
逆矩阵行列式和原矩阵行列式的关系

https://wenku.baidu.com/view/84eda27b27284b73f24250ce.html?sxts=1591611918853

五、过渡矩阵

过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。假设有两组基分别为A，B。由基A到基B可以表示为B=AP，过渡矩阵P=A−1BP=A^{-1}BP=A−1B，它表示的是基与基之间的关系。