问题描述

把4个份额的资源分配给3个工程，给定利润表如下表所示，写出资源的最优分配方案的求解过程。

4份资源分配给3个工程的利润表

x 0 1 2 3 4

G₁(x) 7 13 16 17 19

G₂(x) 6 12 14 16 18

G₃(x) 5 18 19 20 22

4份资源分配给3个工程的利润表
x	0	1	2	3	4
G₁(x)	7	13	16	17	19
G₂(x)	6	12	14	16	18
G₃(x)	5	18	19	20	22

求解过程

令f¡(x)表示把x份资源分配给前i个工程时，所得到的最大利润，d¡(x)表示使得f¡(x)最大时，分配给第i个工程的资源份额。

第一步：求各个阶段不同分配份额时的最大利润，以及各个工程在此利润下的分配份额。

（1）把4份资源只分配给第1个工程，有：

x 0 1 2 3 4

f₁(x) 7 13 16 17 19

d₁(x) 0 1 2 3 4

（2）把4份资源分配给前2个工程，有：

①当x=0时，有：f₂(0)=7+6=13；d₂(0)=0

②当x=1时，有：f₂(1)=max{G₂(0)+f₁(1)，G₂(1)+f₁(0)}=max{19，19}=19；d₂(1)=0或1

③当x=2时，有：f₂(2)=max{G₂(0)+f₁(2)，G₂(1)+f₁(1)，G₂(2)+f₁(0)}=max{6+16，12+13，14+7}=25；d₂(2)=1

④当x=3时，有：f₂(3)=max{G₂(0)+f₁(3)，G₂(1)+f₁(2)，G₂(2)+f₁(1)，G₂(3)+f₁(0)}=max{6+17，12+16，14+13，16+7}=28；d₂(3)=1

⑤当x=4时，有：f₂(4)=max{G₂(0)+f₁(4)，G₂(1)+f₁(3)，G₂(2)+f₁(2)，G₂(3)+f₁(1)，G₂(4)+f₁(0)}=max{6+19，12+17，14+16，16+13，18+7}=30；d₂(4)=2

综上，有：

x 0 1 2 3 4

f₂(x) 13 19 25 28 30

d₂(x) 0 0/1 1 1 2

（3）把4份资源分配给3个工程，有：

①当x=0时，有：f₃(0)=7+6+5=18；d₃(0)=0

②当x=1时，有：f₃(1)=max{G₃(0)+f₂(1)，G₃(1)+f₂(0)}=max{5+19，18+13}=31；d₂(1)=1

③当x=2时，有：f₃(2)=max{G₃(0)+f₂(2)，G₃(1)+f₂(1)，G₃(2)+f₂(0)}=max{5+25，18+19，19+13}=37；d₂(2)=1

④当x=3时，有：f₃(3)=max{G₃(0)+f₂(3)，G₃(1)+f₂(2)，G₃(2)+f₂(1)，G₃(3)+f₂(0)}=max{5+28，18+25，19+19，20+13}=43；d₂(3)=1

⑤当x=4时，有：f₃(4)=max{G₃(0)+f₂(4)，G₃(1)+f₂(3)，G₃(2)+f₂(2)，G₃(3)+f₂(1)，G₃(4)+f₂(0)}=max{5+30，18+28，19+25，20+19，22+13}=46；d₂(4)=1

综上，有：

x 0 1 2 3 4

f₃(x) 18 31 37 43 46

d₃(x) 0 1 1 1 1

第二步：求各个阶段的最大利润g¡，以及在此利润下的分配份额q¡。

g₁=19；q₁=4

g₂=30；q₂=4

g₃=46；q₃=4

第三步：计算全局的最大利润optg、最大的工程数目k、总的最优分配份额optx(k)

optg=46；k=3；optx₃=4

第四步：计算各个工程的最优分配份额optq(x)

optq₃=d₃(optx₃)=d₃(4)=1 optx₂=optx₃-optq₃=4-1=3

optq₂=d₂(optx₂)=d₂(3)=1 optx₁=optx₂-optq₂=2-1=2

optq₁=d₁(optx₁)=d₃(2)=2

最后的决策结果：分别分配给第1、2、3工程2、1、1份，可得最大利润46。

x	0	1	2	3	4
f₁(x)	7	13	16	17	19
d₁(x)	0	1	2	3	4

x	0	1	2	3	4
f₂(x)	13	19	25	28	30
d₂(x)	0	0/1	1	1	2

x	0	1	2	3	4
f₃(x)	18	31	37	43	46
d₃(x)	0	1	1	1	1

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