拉普拉斯变换的本质意义（好文！通俗易懂）

本文将从通俗的角度看待拉普拉斯变换。

发明者

奥列弗.赫维赛德，维多利亚时期英国人，全靠自学，听力残疾。很多人熟悉赫维赛德是因为MATLAB有一个赫维赛德（Heaviside）函数。

赫维赛德简化了麦克斯韦方程组：即变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。让20个方程组便成了4个。
**赫维赛德另一个贡献就是我们今天要说的运算微积分-它可以将常微分方程转换为普通代数方程。**赫维赛德是怎么解微分方程的呢？他把微分、积分运算用一个简单的算子来代替。

也就是说，在某种算子下，积分和微分对应的是倒数关系，至于算子 p 代表什么，赫维赛德也没有多解释，在缺乏严密数学基础的情况下，人家直接放在文章就用了，还发表了。比如常见的一个二阶常微分方程，

如果用赫维赛德的微分算子变换一下，就变成了代数表达式。

赫维赛德之所以这么做，是因为他的“物理直觉”告诉他这么做，就是这么硬。这显然是一种开外挂的行为，因此也受到当时的主流数学家们们的攻讦，他们认为赫维赛德就是十足的“民科”，文章没什么理论依据，自己在那空想呢。当然，赫维赛德也不是弱鸡，科学家怼起人来，也是毫不含糊：“因为我不能理解消化过程就拒绝晚餐吗？不，只要我满意这个结果。”
好了，扯了那么远，有童鞋已经不耐心了：这些和拉普拉斯变换有什么关系？谜底就是：赫维赛德的微积分算子，就是拉普拉斯变换的前身。

傅里叶变换（轻量版拉普拉斯变换）

在说拉普拉斯变换以前，我们要先提一下傅里叶变换，这可以看成是轻量版的拉普拉斯变换。傅里叶变换说的是什么事？说的是自然界的很多现象，都可以用三角函数进行分解。

clc;clear;
h = animatedline;
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1]);
axis square;
N = 100;
t=linspace(0,2*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:Naddpoints(h,x(k),y(k));hold onquiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)b = toc(a); % check timerif b > (1/90)drawnow % update screen every 1/30 secondsa = tic; % reset timer after updatingend
end

你能想象到很多曲线，都可以用这些不同频率，连续旋转的圆，通过线性叠加得到，而傅里叶定律，就是对这个结论的数学描述。
傅里叶定律说：只要一个函数满足如狄利赫里条件，都能分解为复指数函数之和，哪怕是如拉格朗日提到的带有棱角的方波函数。狄利赫里条件为：

其中可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点
于是就可以很好的解释拉格朗日和傅里叶之间的争论了——拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，棱角处会有很小高频波动（吉布斯现象）。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶也是对的。一个从数学家的角度，一个从工程师的角度。

拉普拉斯变换-原来就是这么回事
傅里叶变换能帮我们解决很多问题，一经问世后便受到广大工程师们的喜爱，因为它给人们提供了一扇不同的窗户来观察世界，从这个窗户来看，很多事情往往变得简单多了。但是，别忘了，傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 f(t)=t^2 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于无穷时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

这里我要补充一下，不是为了保证一直为衰减，指数函数，要衰减，在负半轴也是衰减的，要增加，在正负半轴都是增加的。是因为在我们关心的系统中，不对时间的负半轴作分析。因此，我们更多使用单边的拉普拉斯变换，而不是使用双边的拉普拉斯变换，这样的系统称之为因果系统不需要考虑 t=0 时的系统初始条件。
我知道大部分人前面的数学推导没什么兴趣，接下来就是放彩蛋的时刻了，很多童鞋会说不管傅里叶变换或者拉普拉斯变换是什么细节，你能说点有意思的，让人能记忆深刻的信息吗？

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
zl=zlabel('t');%
set(xl,'Rotation',30);%
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:Naddpoints(h,x(k),y(k),t(k));hold online([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')b = toc(a); % check timerif b > (1/90)drawnow % update screen every 1/30 secondsa = tic; % reset timer after updatingend
end

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
zl=zlabel('t');%
set(xl,'Rotation',30);%
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;sig=-0.2;
x=exp(sig*t).*cos(w*t);
y=exp(sig*t).*sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:Naddpoints(h,x(k),y(k),t(k));hold online([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')b = toc(a); % check timerif b > (1/90)drawnow % update screen every 1/30 secondsa = tic; % reset timer after updatingend
end

螺旋曲线和衰减函数的乘积：一个半径不断减小的螺旋曲线。从不同的平面看，就是不断衰减的正弦或者余弦曲线，从复平面来看，是一个半径不断减小的圆。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/40783304

总结一下：傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。

本文大量引用了
https://zhuanlan.zhihu.com/p/40783304
对此表示感谢

拉普拉斯变换的本质意义（好文！通俗易懂）相关推荐

拉普拉斯变换的物理意义是什么
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 仔细研读过郑君里的<信号与系统>,曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度. 后又熟读程佩青的<数字信号处理教程 ...
拉普拉斯变换的物理意义是什么？
这个问题要先从一个工程师说起-- 英国有一位工程师,名叫Heaviside(此君自学成才,化简了麦克斯韦方程组,提出了电离层假说),他使用了一种叫做"运算算子法"的计算方法来解决电 ...
信号与系统（二）：拉普拉斯变换的意义：谈H(s)、h(t)、δ(t)
一.引言在<信号与系统>或者<自动控制理论>中,我们分析线性时不变系统,本质是求解线性常系数微分方程.我们遇到各种变换,傅里叶.拉普拉斯,他们的意义主要分为数学意义.物理意义 ...
[转载]zz傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换的意义
原文地址:zz傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义作者:妙妙猫妖傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信 ...
信号与系统（三）：系统分析方法对比：微分方程相量傅里叶级数/变换拉普拉斯变换
特点方法适用范围数学意义物理意义系统响应类型输入信号类型简化计算的方法简化计算的原因微分方程全响应可求特解的信号 - - 特解:输入决定 + 通解:系统结构.初 ...
傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？...
注.星标嵌入式客栈,精彩及时送达 [导读] 在知乎上看到一个问题,傅里叶变换.拉普拉斯变换.Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些变换?我觉得这是一个非常好的问题,貌似一下子也回答不上来,所以整理学习 ...
傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别
傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量). ...
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间篇二
三大变换的意义? 傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分 ...
傅里叶变换和拉普拉斯变换的物理解释及区别
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> " 傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着 ...
傅里叶变换与拉普拉斯变换的概念理解
傅里叶变换与拉普拉斯变换的概念理解傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是 ...

拉普拉斯变换的本质意义（好文！通俗易懂）

拉普拉斯变换的本质意义（好文！通俗易懂）相关推荐

最新文章

热门文章