【不定积分】不定积分知识点总结

不严谨但通俗地说，不定积分就是知道导函数f(x)f(x)f(x)找原函数F(x)F(x)F(x).

以下如无特别说明，用F(x)F(x)F(x)代表原函数，f(x)f(x)f(x)代表其导函数.

1. 原函数存在定理

f(x)f(x)f(x)连续（第一章的概念）⇒\Rightarrow⇒ 一定有原函数F(x)F(x)F(x) ，注意是单向箭头
f(x)f(x)f(x) 有可去/跳跃/无穷间断点（具体怎样判定属于第一章内容），则一定无 F(x)F(x)F(x)。

举个例子：g(x)={x+5,x>3x2,x≤3g(x)= \begin{cases} x+5, x>3 \\ x^2, x\leq3 \end{cases}g(x)={x+5,x>3x2,x≤3，x=3x=3x=3是跳跃间断点，则这个函数没有原函数，找不到一个G(x)G(x)G(x)，使得 G(x)′=g(x)G(x)'=g(x)G(x)′=g(x)。

f(x)f(x)f(x)有震荡间断点，可能有F(x)F(x)F(x).

2.有原函数但是积不出的函数

以下积分存在但积不出，如果遇到就别继续算了，换个方法，一般想办法对其求导，比如使用分部积分。
∫ex2dx、∫e−x2dx、\int{e^{x^2}}dx、\int{e^{-x^2}}dx、∫ex2dx、∫e−x2dx、
∫sin(x2)dx、∫cos(x2)dx、\int sin(x^2)dx、\int cos(x^2)dx、∫sin(x2)dx、∫cos(x2)dx、
∫sinxxdx、∫cosxxdx\int\frac{sinx}{x}dx、\int\frac{cosx}{x}dx∫xsinxdx、∫xcosxdx

3.八个常用的性质

用F(x)F(x)F(x)代表原函数，f(x)f(x)f(x)代表导函数
F(x)F(x)F(x)偶函数 ⇒\Rightarrow⇒ f(x)f(x)f(x) 奇函数
F(x)F(x)F(x)奇函数 ⇒\Rightarrow⇒ f(x)f(x)f(x) 偶函数
F(x)F(x)F(x) 是T周期函数 ⇒\Rightarrow⇒ f(x)f(x)f(x) T周期函数
F(x)F(x)F(x)单调 ⇒\Rightarrow⇒ f(x)f(x)f(x) 不一定单调（比如y=x3y=x^3y=x3）
f(x)f(x)f(x)奇函数 ⇒\Rightarrow⇒ F(x)F(x)F(x) 偶函数
f(x)f(x)f(x)偶函数 ⇒\Rightarrow⇒ 只有F(x)=∫0xf(x)dxF(x)=\int _{0}^{x}f(x)dxF(x)=∫0xf(x)dx 是奇函数，也就是+C 的C=0
f(x)f(x)f(x) 是T周期函数 ⇒\Rightarrow⇒ F(x)F(x)F(x) 不一定是T周期函数
f(x)f(x)f(x) 单调 ⇒\Rightarrow⇒ F(x)F(x)F(x) 不一定单调

4.计算

1.凑微分

∫g(x)dx=∫g(x)d(x+b)=1a∫g(x)d(ax+b)\int g(x)dx=\int g(x)d(x+b)=\frac{1}{a}\int g(x)d(ax+b)∫g(x)dx=∫g(x)d(x+b)=a1∫g(x)d(ax+b)
f(x) 如果是有理分式，那这个题基本不用做了，用以下方法就可以解决。
凑微分的本质，实际上是看被积函数里哪一部分是另一部分的导数，这样就可以把是导数的那部分凑到后面。
比如：∫1+lnx(xlnx)2dx\int\frac{1+lnx}{(xlnx)^2}dx∫(xlnx)21+lnxdx

f(x){假分式→化成真分式（多项式除法）→拆项（专门方法下面写）真分式（多项式除法）→拆项（专门方法下面写）f(x)\begin{cases} 假分式\rightarrow化成真分式（多项式除法）\rightarrow 拆项（专门方法下面写）\\ 真分式（多项式除法）\rightarrow 拆项（专门方法下面写） \end{cases}f(x){假分式→化成真分式（多项式除法）→拆项（专门方法下面写）真分式（多项式除法）→拆项（专门方法下面写）

拆项：分子的因式为几次就分别拆成几项；拆成每项的分子次数从一次依次递增；拆成每项的分子是比分母括号里的次数第一次的待定多项式。
比如h(x)(ax+b)(cx+d)2(ex2+gx+h)3\frac{h(x)}{(ax+b)(cx+d)^2(ex^2+gx+h)^3}(ax+b)(cx+d)2(ex2+gx+h)3h(x) 分子有两个因式，拆成（1+2+3=6）项。第一个分母是一次因式，后两个分母分别是一次和一个二次，最后三个分母分别是一次，二次，三次。分子都是比分母括号里低一次的待定多项式。拆成
A1x0ax+b+A2x0cx+d+A3x0(cx+d)2+A4x+B1ex2+gx+h+A5x+B2(ex2+gx+h)2+A6x+B3(ex2+gx+h)3\frac{A_1x^0}{ax+b}+\frac{A_2x^0}{cx+d}+\frac{A_3x^0}{(cx+d)^2}+\frac{A_4x+B_1}{ex^2+gx+h}+\frac{A_5x+B_2}{(ex^2+gx+h)^2}+\frac{A_6x+B_3}{(ex^2+gx+h)^3}ax+bA1x0+cx+dA2x0+(cx+d)2A3x0+ex2+gx+hA4x+B1+(ex2+gx+h)2A5x+B2+(ex2+gx+h)3A6x+B3
然后根据对应系数相等求出未知数。
两个常用的结论可以直接记下来：
∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C∫x2+a21dx=a1arctanax+C
∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C

2.三角函数

形如∫sin3xdx\int sin^3xdx∫sin3xdx、∫cos4xdx\int cos^4xdx∫cos4xdx 这种，偶数次拆项（用二倍角公式），奇数次降幂（凑一个到后面）。
形如 ∫cos3xcos2xdx\int cos3xcos2xdx∫cos3xcos2xdx 用积化和差公式
形如 ∫asinx+bcosxcsinx+dcosxdx\int\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}dx∫csinx+dcosxasinx+bcosxdx 分母不变，作如下处理
∫asinx+bcosxcsinx+dcosxdx=∫A(csinx+dcosx)+B(csinx+dcosx)′csinx+dcosxdx\int\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}dx=\int\frac{A(csinx+dcosx)+B(csinx+dcosx)'}{csinx+dcosx}dx∫csinx+dcosxasinx+bcosxdx=∫csinx+dcosxA(csinx+dcosx)+B(csinx+dcosx)′dx
用对应系数相等求出A,B.然后拆开算。
两个常用的结论可以直接记下来：
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C\int secxdx=ln|secx+tanx|+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
遇到sec2x,tan2xsec^2x,tan^2xsec2x,tan2x,多考虑能否使用1+tan2x=sec2x1+tan^2x=sec^2x1+tan2x=sec2x做代换。sec2xsec^2xsec2x一个原函数就是tanx.

3.遇根号，有四种主要情况：

a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2 则令 x=asint,t∈(−π2,π2)x=asint,t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})x=asint,t∈(−2π,2π)
x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2 则令 x=asect,t∈(0,π)x=asect,t\in(0,\pi)x=asect,t∈(0,π)
x2+a2\sqrt{x^2+a^2}x2+a2 则令 x=atant,t∈(−π2,π2)x=atant,t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})x=atant,t∈(−2π,2π)
ax+bcx+d\sqrt\frac{ax+b}{cx+d}cx+dax+b 则令 t=ax+bcx+dt=\sqrt\frac{ax+b}{cx+d}t=cx+dax+b
根号的情况较灵活，不一定完全按照上述四种情况。
例如：

∫xx2−9dx\int x\sqrt{x^2-9}dx∫xx2−9dx直接凑微分、

∫x2+2x+5dx=∫(x+1)2+4dx\int\sqrt{x^2+2x+5}dx=\int\sqrt{(x+1)^2+4}dx∫x2+2x+5dx=∫(x+1)2+4dx然后凑微分、

x+x3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}x+3x令x=t6x=t^6x=t6、

分母有理化等技巧.

有时候没有根号但是有 a2+x2a^2+x^2a2+x2 也可试试 x=atant,t∈(−π2,π2)x=atant,t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})x=atant,t∈(−2π,2π)
- 一个常用的结论可以直接记下来：
∫1x2±a2dx=ln∣x2±a2+x∣+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln|\sqrt{x^2\pm a^2}+x|+C∫x2±a21dx=ln∣x2±a2+x∣+C

4.倒代换：分子次数高时使用

比如∫1x8(1+x2)dx\int\frac{1}{x^8(1+x^2)}dx∫x8(1+x2)1dx , 可以令x=1/tx=1/tx=1/t

5.绝大多数题目做不出，是因为没有变量代换或者代换不合适

遇到困难的积分，打开脑洞多试几次代换，很有可能试出来。一般是把复杂的、难搞的部分直接代换成t。

6.分部积分

分部积分法就是把d前和d后的东西拿出来相乘，再减去d前和d后交换位置的积分。

那么问题来了，该把谁凑到d 后面呢？
反对幂三指
越靠右的越优先拿到后面。这样可以通过分部积分公式简化积分，便于运算。
该方法本质是把复杂的函数（比如反三角函数，对数函数）留在d 前面，然后使用分部积分公式时就可以对其求导，这种函数求导之后会变成友好的有理分式。

可以打表格法，不再赘述。

7.分段函数求不定积分

先分别对每一段求积分，注意一个点，就是利用求出来的函数必定连续的条件，只保留一个常数C。

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