良好的算术解题能力是学生的一项必备素质.学生要提高自己的算术解题能力,实际上并不难.首先,要扎扎实实地钻研算术理论和教材教法,多做算术题；其二,充分发挥初等数学的工具作用,利用方程引路,寻求算术解法,或者利用变形手段,寻求新的解法.

一、方程引路,寻求算术解法

有许多算术题,解题思路独特,解题方法特殊,有时甚至让人感到无从下手.这时,可以请方程来帮忙,先设未知数,列出方程,并根据方程导出未知数的表达式.在推导过程中,要保留原始数据不变,原则上不能化简.然后分析表达式是否有道理,如果确有道理,能解释得通,那么就得到了这道题的算术解法.如果不能从算理解释,还可以把所得的表达式恒等变形后,再进行同样的分析处理.

[例1]小明原有的故事书是小华的6倍,两人各再买2本,则小明所有的书是小华的4倍,两人原来各有故事书多少本?

这道复合应用题的难度很大,如果用方程引路,那么就比较容易做了,可以这样做：

[思路1]设小华原有故事书χ本,根据题意,得6χ+2=4(χ+2),

由此导出：χ= ?

从算理上讲,上式中的“4×2”没有意义,并且结果不宜用分式表示,因此,应该把上式改写成：

χ=(4×2-2)÷(6-4)

现在再来考虑把算式列成“(4×2-2)÷(6-4))”有没有实际意义,即可：事实上只要对“4×2”做出合理解释,就可以了.根据这个算式可以这样分析：小明原有的故事书是小华的6倍,两个各再买2本后,小明的故事书是小华的4倍,这样,把小华现在的增加到4倍,就跟小明现在的书一样多,也就是小华原有书的4倍与4个2本的和,与小明现在的书相等.即,小华原有书的6-4=2倍与(4-1)个2本相等,所以小华原有书2×(4-1)÷(6-4)=3(本).或者,把算式写成(4×2-2)÷(6-4))=3(本)也行；则小明原有书为：3×6=18(本).

[思路2]设小华现在有书χ本,根据题意,得6(χ–2)=4χ–2

由此导出：χ=(2×6–2)÷(6–4)

同样道理,先根据这个算式作出合理分析：小明原有的故事书是小华的6倍,两人各再买2本后,小明的故事书只是小华的4倍,他们的倍数关系发生了变化,相差6–4=2(倍).把小华现在的书看成1倍量.那么要使小明的书仍是小华的6倍,则小明应买2×6=12(本),但小明只买了2本,少买了12–2=10(本),也就是说,这里的10本就是2倍量,所以小华现在有书10÷2=5(本).那么小华原有书的本数就是：(2×6–2)÷(6–4)–2=3(本)；则小明原有书为：3×6=18(本).

二、变形算式,寻求新解

有的算式题,只要稍加分析,容易得到一种解法或几种解法,但由于认识的局限或思维的定势,有的解法可能一时想不到,在这种情况下,从应用题的某一种解法出发,对算式进行恒等变形,只要能对变形后的算式作出合理的解释,就是新的解法.经常这样做,能够沟通不同知识、思想和方法之间的内在联系,融会贯通所学的知识,提高分析问题和解决问题的能力.

[例2]一项工程,甲队独做要8小时,乙队独做要12小时.甲队先独做5小时,余下的由乙队独做,还需几小时完成?

对于这道题,容易想到下面两种解法：

[解法一]看成整数应用题解.把工作总量平均分成8×12份,列式为：

(8×12-12×5)÷8=4 (小时).

[解法二]看成工程问题解.把工作总量看成单位“1”,列式为：

(1- )÷ =4 (小时).

事实上,从上面的任何一道算式出发,进行恒等变形,都可以得到若干道新算式,例如：

12× =4 ； (8-5)× =4 ；

=4 ； 12÷ =4 ；

(8-5)÷ =4 ； (8-5)÷8×12=4 ；……

上面列出的这六道算式都可以得到合理解释,所以它们都是新解法.

由此看来,立足一解,变形算式,是寻求新解的主要方法.

三、分析结果,寻求新解

有些算式题解出来以后,如果对结果进行分析,也会发现新解法.

[例3]分针和时针重合以后,到下一次重合需要多长时间?

[分析]这道题通常看成追及问题来解,由于思考角度不同,也有多种不同的解法.

[解法一]因为分针每小时走60小时,时针每小时走5小格,分针1小时追上60-5=55(小格),所以两针重合以后,到下一次重合要60÷(60-5)= (小时).

[解法二]因为时针的速度是分针的 ,所以分针走1圈,时针走 圈,也就是分针走1圈可以追上(1– )= (圈).这样,两针重合以后到下一次重合,分针需走1÷ = (圈)= (小时).列出综合算式是：1÷(1– )= (小时).

分析本题的结果 可以发现,分针和时针每隔 小时重合一次,换句话来说,也就是12小时重合11次.从“12小时重合11次”这个事实出发,要求重合一次需要多长时间,算式就应该列成：

12÷11= (小时).

这样列式多么简洁!事实上,从整体上考虑,从12点分针和时针重合开始,到下一个12点结束,共经过12小时,分针与时针恰好重合一次,所以相邻两次重合需要12÷11= (小时).一般情况下,很少有人会想到这种巧妙解法,但是,通过分析结果,我们却意外地得到了新一种解法.

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