日常训练 20170708 贝加尔湖畔baikal

题面：
有 N (1≤N≤105)N\ (1\le N\le 10^5) 个村庄, 第 ii 个村庄有一个权值 AiA_i。定义 Bi=A1+A2+.....+AiB_i=A_1+A_2+.....+A_i。保证 BN=0B_N = 0。
你需要从任意一个村庄出发,然后遍历任意多个村庄,之后回到出发的村庄。
我们认为你从村庄 ii 到村庄 jj 的收益是 (Ai−Aj)×Bi×Bj2×Ai×Aj\frac{(A_i-A_j)\times B_i\times B_j}{2\times A_i\times A_j}。
从起点开始的每个点到下一个点的过程中，如果 BB 值有变化， BB 值必须先变大再变小。
你想要最大化你的总收益。
题解：
(Ai−Aj)×Bi×Bj2×Ai×Aj=Ai×Bi×Bj2×Ai×Aj−Aj×Bi×Bj2×Ai×Aj=Bi×Bj2×Aj−Bi×Bj2×Ai=12×(Bi×BjAj−Bj×BiAi)\frac{(A_i-A_j)\times B_i\times B_j}{2\times A_i\times A_j} = \frac{A_i\times B_i\times B_j}{2\times A_i\times A_j} - \frac{A_j\times B_i\times B_j}{2\times A_i\times A_j} = \frac{B_i\times B_j}{2\times A_j} - \frac{B_i\times B_j}{2\times A_i} = \frac{1}{2} \times (B_i \times \frac{B_j}{A_j} - B_j \times \frac{B_i}{A_i})
最后式子是个叉积形式，表示两点与原点的三角形的面积，而且条件保证答案是一个简单环，所以对所有点做一遍凸包计算面积即可。

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 1e5 + 10;
const double eps = 1e-7;
template <typename T> void read(T &x) {x = 0; T f = 1; char c = getchar();for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f *= -1;for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';x *= f;
}
struct rec{double x, y;} a[N], t[N];
bool cmp(const rec &a, const rec &b) {return a.x < b.x;};
rec operator - (const rec &a, const rec &b) {return (rec) {a.x - b.x, a.y - b.y};};
double operator * (const rec &a, const rec &b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;};
int n, b[N], cnt;
double ans;
int main() {freopen("baikal.in", "r", stdin);freopen("baikal.out", "w", stdout);read(n);for (int i = 1; i <= n; i++) read(b[i]);for (int i = 1; i <= n; i++)a[i].x = a[i - 1].x + b[i],a[i].y = a[i].x / b[i];std::sort(a + 1, a + n + 1, cmp);for (int i = 1; i <= n; i++) {t[++cnt] = a[i];while (cnt > 2 && (t[cnt] - t[cnt - 2]) * (t[cnt - 1] - t[cnt - 2]) > -eps)t[cnt - 1] = t[cnt], cnt--;}for (int i = 1; i < cnt; i++) ans += t[i] * t[i + 1];cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {t[++cnt] = a[i];while (cnt > 2 && (t[cnt] - t[cnt - 2]) * (t[cnt - 1] - t[cnt - 2]) < eps)t[cnt - 1] = t[cnt], cnt--;}for (int i = cnt; i > 1; i--) ans += t[i] * t[i - 1];printf("%.5f\n", ans / 2);return 0;
}

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