题意

给定\(n\)个点和\(m\)条无向边（\(n\le 3000\)），需要将这\(n\)个点连通。但是有\(Q\)次（\(Q\le 10^4\)）等概率的破坏，每次破坏会把\(m\)条边中的某条边的权值增大某个值，求\(Q\)次破坏每次将\(n\)个点连通的代价的期望？（全题的数据范围在int内可以过）

分析

这题是真的牛逼，我看了七八个博客都没看太明白，大多数人都没讲在点子上，但是还是有几篇博客不错的，参考如下：
参考A：https://blog.csdn.net/u014664226/article/details/49333081
参考B：https://blog.csdn.net/Anxdada/article/details/81086041
参考C：https://blog.csdn.net/ramay7/article/details/52236040 （这个是最好的，强烈推荐）
参考D：https://blog.csdn.net/gatevin/article/details/47042021 （有一些“实质上”的东西）

接下来说说我综合这些参考后自己对这题的理解与做法。

求期望的意思是，将每次破坏后的最小生成树的代价累加除以\(Q\)。然后我们仔细思考一下这个破坏。首先，如果更改发生在不是最小生成树上的边上，那么答案是不需要改变的。重点是改变发生在这棵生成树上的边中的情况下。此时这棵最小生成树会分成两棵树。显然地，新图的最小生成树一定包含这两棵树上的所有边。问题于是转化为原来的最小生成树被切成两棵树之后，如何选择权值最小的一条边将两棵树连通。
这里因此运用了树形dp。这里比较精彩：
我们记\(dp[i][j]\)是切断\((i,j)\)边后，i与j两个所在点的集合间的最短距离。但是我们不去直接这么搜索，而是去搜索i所在树的树根与j所在子树的每一个点的最短距离。于是我们将每个点当作树根进行DFS，在更新（搜索）时，我们用j所在子树所有点同root的直接距离更新掉dp数组，并有意归避掉\((i,j)\)边。可以想见，当第\(i\)轮更新完成，dp中一定保存了第1个到第\(i\)个root到他们相关点的最短距离。那么对每个点都dp过后，最后dp数组里面一定保存的就是我们要的东西了。

最后对每个查询做修正就可以了，具体见代码。真实树形dp+最小生成树好题，就是做的头疼，哈哈。

代码

/* ACM Code written by Sam X or his teammates.* Filename: hdu4126.cpp* Date: 2018-11-18*/#include <bits/stdc++.h>#define INF 0x3f3f3f3f
#define PB emplace_back
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define rep(i,a,b) for(repType i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i,a,b) for(repType i=(a); i>=(b); --i)
#define ZERO(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define MS(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()#define QUICKIO                  \ios::sync_with_stdio(false); \cin.tie(0);                  \cout.tie(0);
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__), fflush(stderr)using namespace std;
using pi=pair<int,int>;
using repType=int;
using ll=long long;
using ld=long double;
using ull=unsigned long long;int n,m;struct Edge
{int u,v,w;Edge() {}Edge(int _u,int _v, int _w):u(_u), v(_v), w(_w) {}bool operator < (const Edge& rhs) const{if(w==rhs.w){return u<rhs.u;}else return w<rhs.w;}
};
const int MAXN=3005;
vector<Edge> edges;
int mat[MAXN][MAXN];
int used[MAXN][MAXN];int edges_ord[18000005];
int pa[MAXN];
vector<Edge> nedges;
vector<int> nG[MAXN];
inline void nadd_edge(int u,int v,int w)
{nedges.PB(u,v,w);nG[u].PB(int(nedges.size())-1);
}
int find_pa(int x)
{return pa[x]==x?x:pa[x]=find_pa(pa[x]);
}
inline void union_pa(int x,int y)
{int fx=find_pa(x),fy=find_pa(y);if(fx!=fy) pa[fx]=fy;
}
inline int kruskal()
{int ret=0;iota(pa,pa+n,0);sort(ALL(edges));rep(i,0,edges.size()-1){int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;if(find_pa(u)!=find_pa(v)){union_pa(u,v);ret+=w;used[u][v]=used[v][u]=w;nadd_edge(u,v,w);nadd_edge(v,u,w);}}return ret;
}int dp[MAXN][MAXN];
int dfs(int root, int now, int pre)
{//cout<<root<<" "<<now<<" "<<pre<<endl;int ans=INF;rep(i,0,int(nG[now].size())-1){int& v=nedges[nG[now][i]].v;if(v!=pre){int tmp=dfs(root,v,now);ans=min(ans,tmp);dp[now][v]=dp[v][now]=min(dp[now][v], tmp);}}if(root!=pre && pre!=-1){ans=min(ans, mat[now][root]);}return ans;
}inline void init()
{edges.clear();nedges.clear();rep(i,0,n-1) nG[i].clear();MS(dp,0x3f);MS(used,-1);MS(mat,0x3f);
}int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){if(!n && !m) break;init();rep(i,0,m-1){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);edges.PB(u,v,w);mat[u][v]=mat[v][u]=w;}int sum=kruskal();rep(i,0,n-1)dfs(i,i,-1);int q;scanf("%d",&q);double ans=0;rep(i,0,q-1){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(used[u][v]!=-1) ans+=sum-used[u][v]+min(dp[u][v], w);else ans+=sum;}printf("%.4lf\n",ans/(1.0*q));}return 0;
}